Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經過點M，交BC于點G，交AB于點F.

（1）求證： AE為⊙O的切線；

（2）當BC＝8，AC＝12時，求⊙O的半徑和BG的長;

（3）在（2）的條件下，求線段BG的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)r=3；（3）BG=2.

【解析】分析：（1）連接OM．利用角平分線的性質和平行線的性質得到AE⊥OM后即可證得AE是 O的切線；

（2）設 O的半徑為R，根據OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行線的性質得到，即可解得R=3，從而求得 O的半徑為3；

（3）過點O作OH⊥BG于點H，則BG=2BH，根據∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四邊形OMEH是矩形，從而得到HE=OM=3和BH=1，證得結論BG=2BH=2．

詳解：（1）連接OM.∵AC＝AB，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，CE＝BE＝BC，

∵OB＝OM，

∴∠OBM＝∠OMB，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM＝∠CBM，

∴∠OMB＝∠CBM，

∴OM∥BC，

又∵AE⊥BC，

∴AE⊥OM，

∴AE是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為r，∵OM∥BE，

∴△OMA∽△BEA，

∴，由(1)得BE＝4，即，解得r＝3，

∴⊙O的半徑為3；

（3）過點O作OH⊥BG于點H，

則BG＝2BH，∵∠OME＝∠MEH＝∠EHO＝90°，

∴四邊形OMEH是矩形，

∴HE＝OM＝3，

∴BH＝1，

∴BG＝2BH＝2.