Question

【題目】某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD（AB＜BC）的對角線的交點O旋轉（①→②→③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．

（1）該學習小組成員意外的發現圖①（三角板一直角邊與OD重合）中，BN2＝CD2+CN2，在圖③中（三角板一邊與OC重合），CN2＝BN2+CD2，請你對這名成員在圖①和圖③中發現的結論選擇其一說明理由．

（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數量關系，寫出你的結論，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）CM2+CN2＝DM2+BN2,理由詳見解析.

【解析】

（1）圖①連接DN，根據矩形的性質與垂直平分線的性質可得BN=DN，在Rt△CDN中，利用勾股定理即可得證；連接AN，同理也可證圖③；

（2）延長MO交AB于E，連接NE、NM．通過“角邊角”證明△BEO≌△DMO（ASA）， 得OE＝OM，BE＝DM，根據垂直平分線的性質可得NE＝NM，然后在Rt△BNE與Rt△CNM中，利用勾股定理與等量代換即可得CM2+CN2＝DM2+BN2.

解：（1）選擇圖①證明：連接DN，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BO＝DO，∠DCN＝90°，

∵ON⊥BD，

∴NB＝ND，

∵∠DCN＝90°，

∴ND2＝NC2+CD2，

∴BN2＝NC2+CD2；

（2）CM2+CN2＝DM2+BN2．理由如下：

如圖②，延長MO交AB于E，連接NE、NM．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BO＝DO，∠ABC＝∠DCB＝90°，

∵AB∥CD，

∴∠ABO＝∠CDO，∠BEO＝∠DMO，

∴△BEO≌△DMO（ASA），

∴OE＝OM，BE＝DM，

∵NO⊥EM，

∴NE＝NM，

∵∠ABC＝∠DCB＝90°，

∴NE2＝BE2+BN2，NM2＝CN2+CM2，

∴CN2+CM2＝BE2+BN2，

即CN2+CM2＝DM2+BN2．