Question

【題目】直線y=﹣ x+3和x軸、y軸的交點分別為B、C，點A的坐標是（﹣ ，0），另一條直線經過點A、C．

（1）求線段AC所對應的函數表達式；
（2）動點M從B出發沿BC運動，速度為1秒一個單位長度．當點M運動到C點時停止運動．設M運動t秒時，△ABM的面積為S．
①求S與t的函數關系式；
②當t為何值時，S= S△ABC ， （注：S△ABC表示△ABC的面積），求出對應的t值；
③當t=4的時候，在坐標軸上是否存在點P，使得△BMP是以BM為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出P點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當y=0時，﹣ x+3=0，解得x=3 ，即B（3 ，0）

當x=0時，y=3，即C點坐標是（0，3）

設線段AC所對應的函數表達式y=kx+b，圖象經過A、C點，得 ，

解得 ．

故線段AC所對應的函數表達式y= x+3

（2）

解：如圖1，

①由動點M從B出發沿BC運動，速度為1秒一個單位長度，行駛t秒，得BM=t，

由線段的和差，得AB=3 ﹣（﹣ ）=4 ，

由正切函數，得tan∠B= = = ，∠ABC=30°，

由正弦函數，得MD=BMsin∠ABC= t．

由三角形面積公式，得S= ABMD= × t×4 = t

即S= t；

②由S= S△ABC，得MD= OC= ，即 t= ，解得t=3，

當t=3時，S= S△ABC；

③如圖2：

當t=4時，在坐標軸上存在點P，使得△BMP是以BM為直角邊的直角三角形，

(i)如圖2，

∵點M運動的速度為每秒1個單位長度，

∴當t=4時，BM=4，

∵∠ABC=30°，∠PMB=90°，

∴BP=BM÷cos30°=4÷ = ，

∴OP=OB﹣BP=3 ﹣ = ，

∴點P的坐標是（ ，0）．

(ii)如圖3，

PM和AB相交于點N，，

∵點M運動的速度為每秒1個單位長度，

∴當t=4時，BM=4，

∵∠ABC=30°，∠NMB=90°，

∴BN=BM÷cos30°=4÷ = ，

∴ON=OB﹣BN=3 ﹣ = ，

∵∠MNB=90°﹣30°=60°，∠ONP=∠MNB，

∴∠ONP=60°，

∴OP=ONtan60°= =1，

∴點P的坐標是（0，﹣1）．

(iii)如圖4，

∵OC=3，∠ABC=30°，∠BOC=90°，

∴BC=2×3=6，∠PCB=90°﹣30°=60°，

又∵∠PBC=90°，

∴∠BPC=90°﹣60°=30°，

∴CP=2BC=2×6=12，

∴OP=CP﹣OC=12﹣3=9，

∴點P的坐標是（0，﹣9）．

綜上，可得

當t=4時，在坐標軸上存在點P，使得△BMP是以BM為直角邊的直角三角形，

點P的坐標是（ ，0）、（0，﹣1）或（0，﹣9）．

【解析】（1）根據函數值，可得相應自變量的值，根據自變量的值，可得相應的函數值，根據待定系數法，可得函數解析式；（2）①根據M的運動時間及運動速度，可得BM的長，根據正切函數值，可得∠B的大小，再根據正弦函數，可得MD的長，根據線段的和差，可得AB的長，根據三角形的面積公式，可得答案；②根據等底三角形面積間的S= S△ABC的關系，可得MD= OB，可得答案；③根據題意，分三種情況：①點P在x軸上時；②點P在y軸上，且BP為斜邊時；③點P在y軸上，且BP為另一條直角邊時；然后根據直角三角形的性質分類討論，求出P點坐標各是多少即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解一次函數的性質的相關知識，掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小．