Question

閱讀：我們知道，在數軸上x=1表示一個點，而平面直角坐標系中，x=1表示一條直線；我們還知道，以二元一次方程2x-y+1=0的所有解為坐標的點組成的圖形就是一次函數y=2x+1的圖象，它也是一條直線，如圖①．觀察圖①可以得出：直線x=1與直線y=2x+1的交P的坐標（1，3）就是方程組

x=1 2x-y+1=0

的解，所以這個方程組的解是

x=1 y=3

在直角坐標系中，x≤1表示一個平面區域，即直線x=1以及它的左側部分，如圖②；y≤2x+1也表示一個平面區域，即直線y=2x+1以及它的右下方的部分，如圖③．
回答下列問題：
（1）在直角坐標系（圖④）中，用作圖象的方法求出方程組

x=-2 y=-2x+2

的解；
（2）用陰影部分表示不等式組

x≥-2 y≤-2x+2 y≥0

所圍成的平面區域，并求圍成區域的面積；
（3）現有一直角三角形（其中∠A=90°，AB=2，AC=4）小車沿x軸自左向右運動，當點A到達何位置時，小車被陰影部分擋住的面積最大？

Answer 1

分析：（1）用作圖法來求方程組的解，可先分別作出方程組中兩個函數x=-2和y=-2x+2的圖象，然后在坐標系中找出交點的坐標，橫坐標就是x的值，縱坐標就是y的值；
（2）直線x=-2以及它的右側部分，直線y=-2x+2以及它的左下方的部分，x軸以及它的上方的部分，三者圍成的三角形區域即為所求，或者是直線x=-2，y=-2x+2，y=0圍成的三角形區域即為所求；根據三角形的面積公式即可求出圍成區域的面積；
（3）設小車沿x軸自左向右運動，當點A的坐標為（a，0）時，小車被陰影部分擋住的面積最大．分五種情況：①-2≤a≤0；②0≤a≤1；③當1≤a≤2；④2≤a≤5；⑤a＜-2或a＞5，針對每一種情況，分別求出小車被陰影部分擋住的最大面積，然后比較，即可得出結果．

解答：解：（1）如圖，由圖象可得方程組的解是

x=-2 y=6

；

（2）不等式組

x≥-2 y≤-2x+2 y≥0

所圍成的平面區域如圖所示；
陰影部分的面積是

1

2

×6×3=9；

（3）由題意，BC所在直線與二元一次方程2x+y-2=0所表示的直線垂直．
設小車沿x軸自左向右運動，當點A的坐標為（a，0）時，小車被陰影部分擋住的面積最大．分五種情況：
①當-2≤a≤0時，此時點A與原點重合時，小車被擋住的面積最大為

(1+2)×2

2

=3；
②當0≤a≤1時，此時被擋住的面積為：
S=

1

2

•

10-2a

5

•

10-2a

2 5

-

2(1-a)(1-a)

2

-

(a-2)2

4

=

(a-5)2

5

-(a-1)2-

(a-2)2

4

=

-21a2+20a+60

20

，
∴當a=

10

21

時Smax=

68

21

；
③當1≤a≤2時，此時被擋住的面積為：
S=

1

2

•

10-2a

5

-

10-2a

2 5

-

(a-2)2

4

=

(a-5)2

5

-

(a-2)2

4

=

-a2-20a+80

20

，
∴當a=1時Smax=

59

20

；
④當2≤a≤5時，此時點A與點（2，0）重合時，小車被擋住的面積最大為

9

5

；
⑤當a＜-2或a＞5時，小車與陰影無公共部分．
綜上所述，當點A的坐標為(

10

21

，0)時，小車被擋住的面積最大為

68

21

．（12分）

點評：本題考查了一次函數與方程組及不等式組之間的聯系，一次函數、二次函數的性質及圖形的面積等知識，有一定難度．問題（3）中能夠將點A的橫坐標正確分類是解題的關鍵．