Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點，
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值．若沒有，請說明理由．
（4）若點M從B點以每秒個單位沿BA方向向A點運動，同時，點N從C點以每秒個單位向沿CB方向A點運動，問t當為何值時，以B，M，N為頂點的三角形與△OBC相似？

Answer 1

解：（1）將A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得
，
∴，
∴拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）存在．
理由如下：由題知A、B兩點關于拋物線的對稱軸x=-1對稱，
∴直線BC與x=-1的交點即為Q點，此時△AQC周長最小，
∵y=-x²-2x+3，
∴C的坐標為：（0，3），
直線BC解析式為：y=x+3，
x=-1時，y=-1+3=2，
∴點Q的坐標是Q（-1，2）；

（3）存在．
理由如下：如圖，設P點（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0），
則PE=（-x²-2x+3）-（x+3）=-x²-3x，
∴S_△BPC=×PE×[x-（-3）]+×PE×（0-x），
=（x+3）（-x²-3x）+（-x）（-x²-3x）
=-（x²+3x），
=-（x+）²+，
當x=-時，△PBC的面積有最大值，最大值是，
當x=-時，-x²-2x+3=，
∴點P坐標為（-，）；

（4）在Rt△OBC中，BC===3，
運動t秒時，BM=t，BN=3-t，
①∠BMN是直角時，∵△MBN∽△OBC，
∴=，
即=，
解得t=，
②∠BNM是直角時，∵△NBM∽△OBC，
∴=，
即=，
解得t=，
綜上所述，t為或時，以B，M，N為頂點的三角形與△OBC相似．
分析：（1）根據待定系數法求函數解析式的方法，將點A、B代入函數解析式，列出方程組即可求得b、c的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）根據題意可知，邊AC的長是定值，要想△QAC的周長最小，即是AQ+CQ最小，所以此題的關鍵是確定點Q的位置，找到點A關于對稱軸的對稱點B，利用待定系數法求出直線BC的解析式，直線BC與對稱軸的交點即是所求的點Q；
（3）存在，根據二次函數解析式設得點P的坐標，將△BCP的面積表示成二次函數，根據二次函數最值的方法即可求得點P的坐標；
（4）分別表示出BM、BN的長度，然后分①∠BMN是直角，②∠BNM是直角兩種情況，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式求解即可．
點評：此題考查了二次函數的綜合應用，待定系數法求函數解析式，二次函數的最值問題，相似三角形的對應邊成比例的性質，注意要分情況討論求解，要注意數形結合思想的應用．