Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2

3

．動點O在AC邊上，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O分別交AB、AC于點D、E，連接CD．
（1）若點D為AB邊上的中點（如圖1），請你判斷直線CD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）當∠ACD=15°時（如圖2），請你求出此時弦AD的長．

Answer 1

分析：（1）直線CD與⊙O相切，連接OD，可證得∠CDO=90°，則直線CD與⊙O相切．
（2）過點C作CF⊥AB于點F，根據已知條件，可求出在三角形ABC中，AB=4

3

．又∠BDC=45°，所以△DCF為等腰直角三角形，DF=CF，在Rt△BCF中，可求BF=

3

，CF=3=DF，所以AD可用求差法進行求解．

解答：解：（1）直線CD與⊙O相切．
證明：如圖1，連接OD．
∵∠ACB=90°，點D為AB邊的中點，
∴CD=

1

2

AB，
AD=

1

2

AB，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30；（2分）
又∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO=30°，（3分）
∴∠COD=60°，
∴∠CDO=90°，
∴直線CD與⊙O相切．（5分）

（2）如圖2，過點C作CF⊥AB于點F；
∵∠A=30°，BC=2

3

，
∴AB=4

3

；（6分）
∵∠ACD=15°，
∴∠BCD=75°，∠BDC=45°；（7分）
在Rt△BCF中，可求BF=

3

，CF=3，（8分）
在Rt△CDF中，可求DF=3，（9分）
∴AD=AB-BF-FD=4

3

-

3

-3=3

3

-3．（10分）

點評：此題考查了切線的判定，以及勾股定理的應用．