Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、E在⊙O上，∠B=2∠ACE，在BA的延長線上有一點P，使得∠P=∠BAC，弦CE交AB于點F，連接AE．

（1）求證：PE是⊙O的切線；

（2）若AF=2，AE=EF=，求OA的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OA=5

【解析】

（1）連接OE，根據圓周角定理得到∠AOE=∠B，根據圓周角定理得到∠ACB=90°，求得∠OEP=90°，于是得到結論；

（2）根據等腰三角形的性質得到∠OAE=∠OEA，∠EAF=∠AFE，再根據相似三角形的性質即可得到結論．

解：（1）連接OE，

∴∠AOE=2∠ACE，

∵∠B=2∠ACE，

∴∠AOE=∠B，

∵∠P=∠BAC，

∴∠ACB=∠OEP，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠OEP=90°，

∴PE是⊙O的切線；

（2）∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∵AE=EF，

∴∠EAF=∠AFE，

∴∠OAE=∠OEA=∠EAF=∠AFE，

∴△AEF∽△AOE，

∴，

∵AF=2，AE=EF=，

∴OA=5．