Question

重慶市墊江縣具有2000多年的牡丹種植歷史．每年3月下旬至4月上旬，主要分布在該縣太平鎮、澄溪鎮明月山一帶的牡丹迎春怒放，美不勝收．由于牡丹之根---丹皮是重要中藥材，目前已種植有60多個品種2萬余畝牡丹的墊江，因此成為我國丹皮出口基地，獲得“丹皮之鄉”的美譽．為了提高農戶收入，該縣決定在現有基礎上開荒種植牡丹并實行政府補貼，規定每新種植一畝牡丹一次性補貼農戶若干元，經調查，種植畝數y（畝）與補貼數額x（元）之間成一次函數關系，且補貼與種植情況如下表：

補貼數額（元）	10	20	…
種植畝數（畝）	160	240	…

隨著補貼數額x的不斷增大，種植規模也不斷增加，但每畝牡丹的收益z（元）會相應降低，且該縣補貼政策實施前每畝牡丹的收益為3000元，而每補貼10元（補貼數為10元的整數倍），每畝牡丹的收益會相應減少30元．
（1）分別求出政府補貼政策實施后，種植畝數y（畝）、每畝牡丹的收益z（元）與政府補貼數額x（元）之間的函數關系式；
（2）要使全縣新種植的牡丹總收益W（元）最大，又要從政府的角度出發，政府應將每畝補貼數額x定為多少元？并求出總收益W的最大值和此時種植畝數；（總收益=每畝收益×畝數）
（3）在（2）問中取得最大總收益的情況下，為了發展旅游業，需占用其中不超過50畝的新種牡丹園，利用其樹間空地種植剛由國際牡丹園培育出的“黑桃皇后”．已知引進該新品種平均每畝的費用為530元，此外還要購置其它設備，這項費用（元）等于種植面積（畝）的平方的25倍．這樣混種了“黑桃皇后”的這部分土地比原來種植單一品種牡丹時每畝的平均收益增加了2000元，這部分混種土地在扣除所有費用后總收益為85000元．求混種牡丹的土地有多少畝？（結果精確到個位）（參考數據：

2

≈1.414，

3

≈1.732，

5

≈2.236）

Answer 1

分析：（1）首先根據已知條件和表格數據利用待定系數法可以求出y與x之間的函數關系式，又隨著補貼數額x的不斷增大，種植規模也不斷增加，但每畝牡丹的收益z（元）會相應降低，且該縣補貼政策實施前每畝牡丹的收益為3000元，而每補貼10元（補貼數為10元的整數倍），每畝牡丹的收益會相應減少30元，由此可以得到z=3000-

x

10

×30，化簡即可得到函數關系式；
（2）根據題目條件知道W=y•z，然后分別把（1）中的函數關系式代入其中即可得到W關于x的二次函數，然后利用二次函數的性質即可解決問題；
（3）此時平均每畝收益

6120000

4000

=1530（元），設混種牡丹的土地m畝，則根據題意可以列出方程（1530+2000）•m-530m-25m²=85000，解方程即可求出m，也就求出了混種牡丹的土地有多少畝．

解答：解：（1）設種植畝數y（畝）與政府補貼數額x（元）之間的函數關系式為y=kx+b，
依題意得函數圖象過（10，160）（20，240），
∴

160=10k+b 240=20k+b

解得

k=8 b=80

，
∴y=8x+80，
依題意得
z=3000-

x

10

×30=-3x+3000；

（2）W=y•z=（8x+80）（-3x+3000）
=-24x²+23760x+240000
=-24（x²-990x+495²-495²）+240000
=-24（x-495）²+6120600
∵x為10的整數倍
∴當x=490或x=500時，W_最大=6120000
∵從政府角度出發
∴當x=490時，W_最大=6120000，
此時種植y=8×490+80=4000畝；

（3）此時平均每畝收益

6120000

4000

=1530（元），
設混種牡丹的土地m畝，則
（1530+2000）•m-530m-25m²=85000
m²-120m+3400=0
解得：m=60±10

2

，
∴m₁=60+10

2

≈74＞50，
m₂=60-10

2

≈46，
∴混種牡丹的土地有46畝．

點評：本題分別考查了二次函數在實際生活中的應用、一元二次方程在實際中的應用、待定系數法確定一次函數的解析式等知識，綜合性比較強，解題時首先要正確理解題意，準確把握題目中的數量關系，利用這些數量關系分別確定函數關系式和列出方程解決問題．