Question

【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c經過A(-1,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點C,D為y軸上一點,點D關于直線BC的對稱點為D’

(1)求拋物線的解析式;

(2)當點D在x軸上方,且△OBD的面積等于△OBC的面積時,求點D的坐標;

(3)當點D'剛好落在第四象限的拋物線上時,求出點D的坐標;

(4)點P在拋物線上(不與點B、C重合),連接PD、PD′、DD,是否存在點P,使△PDD′是以D為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（0,4）；（3）（0，-1）；（4）（5,6）或（3，-4）

【解析】

（1）由點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的表達式；

（2）根據△OBD的面積等于△OBC的面積，又兩三角形的底邊都為OB，故高相等，即D點為C點關于x軸的對稱點；

（3）可知△OBC為等腰直角三角形，求出點D′的縱坐標為3，代入拋物線解析式可得CD＝2，求出D點坐標；

（4）可以D為直角頂點畫圖，即可求出點P的坐標．

（1）∵拋物線y＝ax2＋bx3經過A（1，0）、B（4，0）兩點

∴將A（1，0）、B（4，0）分別代入y＝x2＋bx＋c 得

，

解得，

所以，拋物線的解析式．

（2）當x＝0時，=-4，

∴C（0，4），

∵△OBD的面積等于△OBC的面積，又兩三角形的底邊都為OB，

∴高相等，即D點為C點關于x軸的對稱點；

故D（0,4）；

（3）∵B（4，0），

∴OB＝OC＝4，

∴△OBC為等腰直角三角形，∠OCB＝45°，

如圖，設D（0，t），

∵點D關于直線BC的對稱點為D′連接DD′，CD′，

∴由對稱性可知：∠DCD′＝2∠OCB＝90° CD＝CD′，

∴CD′∥x軸，

∴點D′的縱坐標為4，

當點D′在第四象限拋物線上時，將y＝4代入

解得x1＝3，x2 ＝0 （舍去）

∴CD＝CD′＝3，

∴t＝4＋3＝1，

∴D（0，1）．

（4）如圖，以D為直角頂點，此時PC∥x軸，

∴P點縱坐標為-4，

∴P（3，4），

如圖，以D為直角頂點，此時PD′∥y軸，

∵B（4,0）C（0,4），∴∠DCB=45°,

設D（0，t）,∴CD=t+4

作DH⊥PD’，

由△DPD’為等腰三角形的得到DH=D’H=CD·tan45°=t+4，

∴PD’=2PH=2DH=2t+8,BP=PD’-BD’= PD’-CO=2t+8-4=2t+4

∴P點坐標為（t+4，2t+4）

代入，求得t=1，t=-4（舍去）

∴P（5,6），

綜上可得點P的坐標為（3，4）或（5,6）.