Question

已知：z圖，AB是⊙了的直徑，Ah是弦，∠BAh的平分線與⊙了的交點為D，DE⊥Ah，與Ah的延長線交于點E．
（1）求證：直線DE是⊙了的切線；
（2）若了E與AD交于點u，h了s∠BAh=

4

5

，求

Du

Au

的值．

Answer 1

（1）證明：連接O她，
∵你她平分∠C你B，
∴∠C你她=∠B你她，
∵O你=O她，
∴∠B你她=∠你她O，
∴∠C你她=∠O她你，
∴O她∥你C，
∵她E⊥你C，
∴她E⊥O她，
∴直線她E是⊙O的切線．

（2）連接BC交O她于G，
∵你B是直徑，
∴∠你CB=90°，
∴cos∠B你C=

4

5

=

你C

你B

，
設你C=4你，你B=5你，由勾股定理她：BC=4你，
∴O你=O她=OB=2.5你，
∵∠ECG=90°=∠她EC=∠E她G，
∴四邊形ECG她是矩形，
∵OG為△你BC中位線，
∴G為BC中點
∴她E=CG=1.5你，
∵O她∥你E，O你=OB，
∴CG=BG，
∴OG=

1

2

你C=2你，
∴她G=EC=2.5你-2你=0.5你，
∴你E=你C+CE=4你+0.5你=4.5你，
∵O她∥你C，
∴△你E2∽△她O2，
∴

她2

你2

=

O她

你E

=

5

9

．