Question

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知A、B兩點的坐標分別為（4，0）、（0，2），將△OAB繞點O逆時針旋轉90°后得到△OCD，拋物線y=ax²-2ax+4經過點A．
（1）求拋物線的函數表達式，并判斷點D是否在該拋物線上；
（2）如圖2，若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求使|PC-PD|的值最大時點P的坐標；
（3）設拋物線上是否存在點E，使△CDE是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，請求出所有點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²-2ax+4經過點A，
A點的坐標為（4，0）
∴解析式為：y=-x²+x+4
∵△OAB繞點O逆時針旋轉90°后得到△OCD，∴D點的坐標為（-2，0）
代入y=-x²+x+4可得，D點在解析式上．

（2）如圖1：
∵在三角形PCD中，由兩邊之差小于第三邊，
∴|PC-PD|＜CD，當P在線段DC延長線上時，|PC-PD|的值最大，為CD的長，
過C（0，4），D（-2，0）的直線為y=2x+4，
∵當x=1時，y=2×1+4=6，
∴拋物線對稱軸交點為（1，6），
∴|PC-PD|的值最大時點P的坐標（1，6）；

（3）如圖2，假設存在這樣一個點E，（x，-x²+x+4），使△CDE是以CD為直角邊的直角三角形，
故EF²+CF²=CE²，EG²+DG²=DE²
∴EC²+CD²=DE²
∴DE²=EF²+CF²+OC²+DO²
∴x²+[4-（-x²+x+4）]²+20=（-x²+x+4）²+（x+2）²
∴整理得：4x²-12x=0（2）
解得：x₁=0（不合題意舍去），x₂=3
代入（x，-x²+x+4），得（3，）
∴E點坐標為（3，）．
∴拋物線上存在點E，使△CDE是以CD為直角邊的直角三角形．
如圖3，假設存在這樣一個點E′（x，-x²+x+4），使△CDE是以CD為直角邊的直角三角形，
作E′F⊥x軸于點F，E′N⊥y軸于點N，
故E′F²+DF²=DE^′2，CN²+NE′²=CE^′2，OD²+CO²=DC²，
∴CE^′2=E′F²+DF²+OC²+DO²
∴x²+[4-（-x²+x+4）]²=20+（-x²+x+4）²+（x+2）²
∴整理得：x²-3x-10=0
解得：x₁=-2（不合題意舍去），x₂=5，
代入（x，-x²+x+4），得（5，-3.5）
∴E′點坐標為（5，-3.5）．
∴拋物線上存在點E（5，-3.5），（3，），使△CDE是以CD為直角邊的直角三角形
分析：（1）將A點（4，0）代入解析式得出拋物線的函數表達式，并求出D點的坐標，并判斷點D是否在該拋物線上．
（2）求|PC-PD|的值最大時點P的坐標，應延長CD交對稱軸于點P．因為|PC-PD|小于或等于第三邊即CD，當|PC-PD|等于CD時，|PC-PD|的值最大．
（3）假設存在這樣一個點E，（x，-x²+x+4），利用勾股定理可以求出．
點評：此題主要考查了：
（1）待定系數法求二次函數解析式，即A點（4，0）代入y=ax²-2ax+4，
（2）勾股定理的應用和作對稱點問題，綜合性較強．