Question

【題目】如圖，AB∥CD，點E，F分別在AB，CD上，連接EF，∠AEF、∠CFE的平分線交于點G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點H．

（1）求證：四邊形EGFH是矩形
（2）小明在完成（1）的證明后繼續進行了探索，過G作MN∥EF，分別交AB，CD于點M，N，過H作PQ∥EF，分別交AB，CD于點P，Q，得到四邊形MNQP，此時，他猜想四邊形MNQP是菱形，請在下列框中補全他的證明思路．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵EH平分∠BEF，

∴∠FEH=∠BEF，

∵FH平分∠DFE，

∴∠EFH=∠DFE，

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE=180°，

∴∠FEH+∠EFH=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°，

∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，

∴∠EHF=180°﹣（∠FEH+∠EFH）=180°﹣90°=90°，

同理可得：∠EGF=90°，

∵EG平分∠AEF，

∴∠GEF=∠AEF，

∵EH平分∠BEF，

∴∠FEH=∠BEF，

∵點A、E、B在同一條直線上，

∴∠AEB=180°，

即∠AEF+∠BEF=180°，

∴∠FEG+∠FEH=（∠AEF+∠BEF）=×180°=90°，

即∠GEH=90°，

∴四邊形EGFH是矩形

（2）

解：答案不唯一：

由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，

要證MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件：FG平分∠CFE，MN∥EF，

故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證 GE=FH、∠GME=∠FQH．

故只要證∠MGE=∠QFH，易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得證．

【解析】（1）利用角平分線的定義結合平行線的性質得出∠FEH+∠EFH=90°，進而得出∠GEH=90°，進而求出四邊形EGFH是矩形；
（2）利用菱形的判定方法首先得出要證MNQP是菱形，只要證MN=NQ，再證∠MGE=∠QFH得出即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解菱形的判定方法的相關知識，掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形，以及對矩形的判定方法的理解，了解有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形．