Question

如圖所示，已知⊙O₁與⊙O₂切于點P，外公切線AB與連心線O₁O₂相交于點C，A、B是切點，D是AP延長線上的點，滿足

AP

AB

=

AC

AD

=

4

5

．
求：（1）cosD；（2）S⊙O1：S⊙O2的值．

Answer 1

分析：（1）過P作兩圓的內公切線交AB于Q，連接PB．得到QA=QP=QB，根據∠APB=90°

AP

AB

=

AC

AD

，得到△CAD∽△PAB，推出∠ACD=∠APB=90°設AC=4t，AD=5t，則CD=3t，即可求出答案；
（2）在Rt△APB中，設AP=8a，AB=10a，則PB=6a．作O₁E⊥AP于E，O₁F⊥BP于F，得到EP=

1

2

AP=4a，FP=3a，根據∠FO₂P=∠APB=∠D，推出Rt△PFQ₂∽Rt△ACD，得到

FO2

PF

=

CD

CA

=

3

4

，根據O₁E∥PF，得到△EO₁P∽△FPO₂，求

O1P

O2P

，根據相似三角形的性質即可求出答案．

解答：解：（1）過P作兩圓的內公切線交AB于Q，連接PB．
∵AB是兩圓的外公切線，
∴QA=QP=QB，
∴∠APB=90°
∵

AP

AB

=

AC

AD

，即

AD

AB

=

AC

AP

，∠CAD=∠PAB，
∴△CAD∽△PAB，
∴∠ACD=∠APB=90°，
在Rt△ACD中，令AC=4t，AD=5t，則CD=3t，
∴cosD=

CD

AD

=

3

5

，
答：cosD=

3

5

．

（2）解：在Rt△APB中，設AP=8a，AB=10a，則PB=6a．
作O₁E⊥AP于E，O₂F⊥BP于F，
則EP=

1

2

AP=4a，FP=3a，
在Rt△PO₂F中，∠FO₂P=∠D，∠PFO₂=∠ACD=90°，
∴△PFO₂∽△ACD，
∴

FO2

PF

=

CD

CA

=

3

4

，
∵PF=3a，
∴FO₂=

9

4

a，
又O₁E∥PF，∠EO₁P=∠FPO₂，
∴△EO₁P∽△FPO₂，
∴

O1P

O2P

=

PE

O2F

=

4a

9 4 a

=

16

9

，
∴

S⊙o1

S⊙o2

=(

o1P

o2P

)2=

256

81

，
答：S⊙O1：S⊙O2的值是

256

81

．

點評：本題主要考查對切線長定理，平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質和判定，相切兩圓的性質，銳角三角函數的定義等知識點的理解和掌握，熟練地運用這些性質進行推理是解此題的關鍵，題型較好，綜合性強，難度適中．