Question

已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），在x軸上存在點(diǎn)Q（不與P點(diǎn)重合），以PQ為邊作正方形PQMN，使點(diǎn)M落在反比例函數(shù)y=-

2

x

的圖象上．小明對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)不論m取何值，符合上述條件的正方形只有兩個(gè)，且一個(gè)正方形的頂點(diǎn)M在第四象限，另一個(gè)正方形的頂點(diǎn)M₁在第二象限．
（1）如圖所示，若反比例函數(shù)解析式為y=-

2

x

，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），圖中已畫(huà)出一符合條件的一個(gè)正方形PQMN，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出符合條件的另一個(gè)正方形PQ₁M₁N₁，并寫(xiě)出點(diǎn)M₁的坐標(biāo)；M₁的坐標(biāo)是

 

．
（2）請(qǐng)你通過(guò)改變P點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)直線M₁M的解析式y(tǒng)﹦kx+b進(jìn)行探究可得k﹦

 

，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）時(shí)，則b﹦

 

；
（3）依據(jù)（2）的規(guī)律，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0），請(qǐng)你求出點(diǎn)M₁和點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)要求，畫(huà)出符合條件的另一個(gè)正方形PQ₁M₁N₁，即可寫(xiě)出點(diǎn)M₁的坐標(biāo)；
（2）由于四邊形PQMN與四邊形PQ₁M₁N₁都是正方形，結(jié)合圖象分析，可得出M₁、P、M三點(diǎn)共線，再求得直線M₁M的斜率，代入P點(diǎn)坐標(biāo)，求得b=m；
（3）依據(jù)（2）的規(guī)律，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0），則直線M₁M的解析式為y=-x+6，又點(diǎn)M（x，y）在反比例函數(shù)y=-

2

x

的圖象上，故x•（-x+6）=-2，解此方程，求出x的值，進(jìn)而得出點(diǎn)M₁和點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖，畫(huà)出符合條件的另一個(gè)正方形PQ₁M₁N₁，
則容易看出M₁的坐標(biāo)為（-1，2）；

（2）由于四邊形PQMN與四邊形PQ₁M₁N₁都是正方形，
則∠MPN=∠Q₁PM₁=45°，∠Q₁PN=90°，∴∠M₁PM=180°，
∴M₁、P、M三點(diǎn)共線，由tan∠Q₁PM₁=1，
可知不管P點(diǎn)在哪里，k﹦-1；
把x=m代入y=-x+b，得b=m；

（3）由（2）知，直線M₁M的解析式為y=-x+6，
則M（x，y）滿足x•（-x+6）=-2，
解得x₁=3+

11

，x₂=3-

11

，
∴y₁=3-

11

，y₂=3+

11

．
∴M₁，M的坐標(biāo)分別為（3-

11

，3+

11

），（3+

11

，3-

11

）．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正方形等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．