Question

已知：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=3，BC=4，CD是斜邊AB邊上的高，點E、F分別是AC、BC邊上的動點，連接DE、DF、EF，且∠EDF=90°．

（1）當四邊形CEDF是矩形時（如圖1），試求EF的長并直接判斷△DEF與△DAC是否相似．
（2）在點E、F運動過程中（如圖2），△DEF與△DAC相似嗎？請說明理由；
（3）設直線DF與直線AC相交于點G，△EFG能否為等腰三角形？若能，請直接寫出線段AE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出AB的長，然后利用三角形的面積相等即可求出CD的長，由矩形的性質：對角線相等即可得到EF=CD，問題得解；
（2）△DEF與△DAC相似，首先利用有兩對角相等的三角形相似證明△FDC∽△DEA，由相似三角形的性質可得：

DF

DE

=

DC

DA

，再通過有一對角相等，夾邊的比值相等的三角形相似即可證明△DEF與△DAC相似；
（3）△EFG能為等腰三角形，因為此等腰三角形的腰和底邊不確定，所以要分兩種情況討論①①在等腰△EFG中，EF=EG；②在等腰△EFG中，EF=GF時；根據線段的數量關系和勾股定理就可以求出不同情況下的AE的值．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB²=BC²+AC²=4²+3²，
解得：AB=5，
又S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC=6，
∴CD=

12

AB

=

12

5

，
∵四邊形CEDF是矩形，
∴EF=CD=

12

5

；

（2）△DEF與△DAC相似，理由如下：
∵∠FDE=90°，
∴∠FDC+∠CDE=90，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CDE+∠EDA=90，
∴∠FDC=∠EDA，
∵∠FCD+∠DCA=90，∠A+∠DCA=90，
∴∠FCD=∠A，
∴△FDC∽△DEA，
∴

DF

DE

=

DC

DA

，
又∵∠FDE=∠CDA=90°，
∴△DEF∽△DAC；

（3）△EFG能為等腰三角形，理由如下：
①如圖3：如圖所示：設AE=x，
在等腰△EFG中，若EF=EG，
∴∠G=∠EFD，
∵∠DFE=∠DCA，
∴∠DCA=∠G，
∴CD=DG，
又∵DF=DG（三線合一）
∴DF=DC，∠CDA=∠EDF=90°，
∴△ACD≌△EFD，
∴EF=AC=3，
∴EF²=AC²
∴

25

9

x²-6x+9=9
解得x=

54

25

，
∴AE=

54

25

，
②如圖4：若EF=GF，
∵EF=FG，EA⊥BC，
∴C為EG中點
∴CD=CE=

12

5

，
∵AC=3，
∴AE=3-

12

5

=

3

5

，
∴△EFG能成為等腰三角形，AE的長為

3

5

或

54

25

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的面積，等腰三角形的判定，勾股定理的運用以及全等三角形的判定和性質、矩形的性質，題目的綜合性很強，難度不小．