Question

如圖1，已知直線：y=

3

3

x+

3

與直角坐標系xOy的x軸交于點A，與y軸交于點B，點M為x軸正半軸上一點，以點M為圓心的⊙M與直線AB相切于B點，交x軸于C、D兩點，與y軸交于另一點E．
（1）求圓心M的坐標；
（2）如圖2，連接BM延長交⊙M于F，點N為

CF

上任一點，連DN交BF于Q，連FN并延長交x軸于點P．則CP與MQ有何數量關系？證明你的結論；
（3）如圖3，連接BM延長交⊙M于F，點N為

CF

上一動點，NH⊥x軸于H，NG⊥BF于G，連接GH，當N點運動時，下列兩個結論：①NG+NH為定值；②GH的長度不變；其中只有一個是正確的，請你選擇正確的結論加以證明，并求出其值？

Answer 1

分析：（1）根據一次函數解析式求出A，B兩點的坐標．進而得出AO，BO的長，再利用射影定理求出MO的長即可得出答案；
（2）利用圓周角定理以及等邊三角形的性質得出△BDQ≌△MFP，進而得到PM=BQ，從而得出CP與MQ的數量關系；
（3）根據垂徑定理以及銳角三角函數首先得出WQ=2

3

，進而得出GH是△WNQ的中位線，HG=

1

2

WQ=

3

，即可得出答案．

解答：解：（1）連接BM，
∵y=

3

3

x+

3

與直角坐標系xOy的x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴A點橫坐標為x：0=

3

3

x+

3

，縱坐標為0，
∴x=-3，A（-3，0），
B點坐標為：（0，

3

），
∴BO=

3

，AO=3，
∵以點M為圓心的⊙M與直線AB相切于B點，
∴AB⊥BM，
∵BO⊥AM．
∴BO²=AO×MO，
3=3MO，
∴MO=1，
∴圓心M的坐標為（1，0）；

（2）MQ=PC．
證明：∵BO=

3

，MO=1，
∴tan∠BMO=

3

，
∴∠BMO=60°，
∵BM=DM，
∴△BDM是等邊三角形，
∴BD=BM=DM，∠DBQ=60°，
∴∠FMP=∠BMD=60°，
∴∠DBQ=∠FMP=60°，
∵∠BDN=∠BFN，
∴△BDQ≌△MFP，
∴PM=BQ，
∵BM=CM，
∴BQ-BM=PM-MC，
即：MQ=PC；

（3）GH的長度不變；
證明：延長NH到⊙一點Q，延長NG到圓上一點W，作MT⊥WQ，連接WQ，MQ，MW，MN，
∵NH⊥x軸于H，NG⊥BF于G，
∴QC=CN，GN=WQ，

QC

=

CN

，

WF

=

FN

，（垂徑定理的推論）
∴∠QMC=∠CMN，∠NMF=∠FMW，
∵由（2）得出∠DMB=∠FMC=60°，
∴∠WMQ=120°，WM=MQ，
∴QT=WT，∠TMQ=60°，
∵DM=MQ=2，
∴sin60°=

QT

2

，
∴QT=

3

，
∴WQ=2

3

，
∴點N為

CF

上一動點，到什么位置△WMQ形狀不變，
∴QW=2

3

長度不變，
∵H為QN的中點，G為WN的中點，
∴GH是△WNQ的中位線，
∴HG=

1

2

WQ=

3

，
∴GH的長度不變．

點評：此題主要考查了圓周角定理以及全等三角形的判定和銳角三角函數等知識，所以同學們學習時一定要會把所學的知識靈活的運用起來，延長NC到⊙一點Q，延長NG到圓上一點W，得出這兩條輔助線是解決問題的關鍵．