Question

如圖1，已知直線l的解析式為y=

4

3

x+4，它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點．點C從點O出發沿OA以每秒1個單位的速度向點A勻速運動；點D從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，點C、D同時出發，當點C到達點A時同時停止運動．伴隨著C、D的運動，EF始終保持垂直平分CD，垂足為E，且EF交折線AB-BO-AO于點F．
（1）直接寫出A、B兩點的坐標；
（2）設點C、D的運動時間是t秒（t＞0）．
①用含t的代數式分別表示線段AD和AC的長度；
②在點F運動的過程中，四邊形BDEF能否成為直角梯形？若能，求t的值；若不能，請說明理由．（可利用備用圖解題）

Answer 1

分析：（1）已知直線的解析式，當x=0時，得出y=4，當y=0時，得出x=-3，即得出AB兩點的解析式；（2）①C，D均是每秒1個單位的速度勻速運動，根據題意可簡單求出；②根據實際情況分兩種情況討論當CD⊥AB時，當CD∥BO時．

解答：解：（1）直線的解析式為y=

4

3

x+4，
當x=0時，得出y=4，當y=0時，得出x=-3，
所以A（-3，0），B（0，4）；

（2）①因為C，D均是每秒1個單位的速度勻速運動，
所以AD=t，OC=t．
又∵A（-3，0），
∴OA=3，∴AC=3-t，
則AD=t，AC=3-t；
②能．
在Rt△ABE中，OA=3，OB=4，
根據勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
（i）如圖1，當CD⊥AB時，
∵EF⊥CD，
∴EF∥AB，
∴四邊形BDEF是直角梯形，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠A0B=90°，
又∵∠BAO=∠CAD，
∴△ADC∽△AOB，又AD=t，AC=3-t，
∴

AD

AO

=

AC

AB

，即

t

3

=

3-t

5

，
解得t=

9

8

；
（ii）如圖2，當CD∥BO時，EF⊥BO，∴四邊形BDEF是直角梯形，
此時∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠AOB=90°，又∠DAC=∠BAO，
∴△ACD∽△AOB，又AB=t，AC=3-t，
∴

AD

AB

=

AC

AO

，即

t

5

=

3-t

3

，
解得t=

15

8

．
綜上所得，當t=

9

8

或t=

15

8

時，四邊形BDEF是直角梯形．

點評：本題考查了學生對一次函數的綜合運用，難度較大，關鍵將知識點熟練掌握，有機結合．