Question

三角形紙片ABC，∠C=90°，AB=2BC=4．將紙片折疊使點A總是落在BC邊上，記為點D，EF是折痕，如圖所示．
（1）當△DEF是以∠EDF為頂角的等腰三角形時，四邊形DFAE為哪種特殊的四邊形？為什么？
（2）在（1）的條件下，求線段DF的長（結果用根號表示）；
（3）在BC邊上是否存在一點D，使以D，E，F為頂點的三角形和以D，E，B為頂點的三角形相似？若存在，求出相似比；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）四邊形DFAE為菱形．理由如下：
∵△DEF是以∠EDF為頂角的等腰三角形，
∴DE=DF，
又∵△DEF由△AEF折疊得到，
∴DE=EA，FD=FA，
∴DE=DF=FA=AF，
∴四邊形DFAE為菱形．

（2）設DF=x，
∵四邊形DFAE為菱形，
∴DE=AE=x，
而AB=2BC=4，
∴∠A=30°，
∴AC=BC=2，
而DE∥AC，
∴DE：AC=BE：BA，即x：2=（4-x）：4，解得x=8-12，
∴線段DF的長為8-12．

（3）不存在．理由如下：
假設存在一點D，使以D，E，F為頂點的三角形和以D，E，B為頂點的三角形相似，
∵∠FDE=∠A=30°，∠B=60°，
當∠BED=∠FDE=30°，
∴∠BDE=90°，
∴∠DEF=90°，
∴∠FEA=90°，這與平角為180°相矛盾，
同理當∠BDE=∠FDE=30°，也存在矛盾，
所以不存在一點D，使以D，E，F為頂點的三角形和以D，E，B為頂點的三角形相似．
分析：（1）由△DEF是以∠EDF為頂角的等腰三角形，根據等腰三角形的性質得到DE=DF，再根據折疊的性質得DE=EA，FD=FA，因此DE=DF=FA=AF；
（2）設DF=x，則DE=AE=x，而AB=2BC=4，得到∠A=30°，AC=BC=2，利用DE∥AC，得DE：AC=BE：BA，即x：2=（4-x）：4，解出即可；
（3）假設存在一點D，使以D，E，F為頂點的三角形和以D，E，B為頂點的三角形相似，則∠FDE=∠A=30°，∠B=60°，分類推論：當∠BED=∠FDE=30°，得∠BDE=90°，則∠DEF=90°，這與平角為180°相矛盾，同理當∠BDE=∠FDE=30°，也存在矛盾，于是不存在一點D，使以D，E，F為頂點的三角形和以D，E，B為頂點的三角形相似．
點評：本題考查了相似三角形的性質；也考查了菱形和折疊的性質以及含30度的直角三角形三邊的關系．