Question

操作1：如圖1，一三角形紙片ABC，分別取AB、AC的中點D、E，連接DE，沿DE將紙片剪開，并將其中的△ADE紙片繞點E旋轉180°后可拼合（無重疊無縫隙）成平行四邊形紙片BCFD．
操作2：如圖2，一平行四邊形紙片ABCD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD邊的中點，沿EF剪開并將其中的△BFE紙片繞點E旋轉180°到△AF₁E位置；沿HG剪開并將其中的△DGH紙片繞點H旋轉180°到△AG₁H位置；沿FG剪開并將△CFG紙片放置于△AF₁G₁的位置，此時四張紙片恰好拼合（無重疊無縫隙）成四邊形FF₁G₁G．則四邊形FF₁G₁G的形狀是

 

．

操作、思考并探究：
（1）如圖3，如果四邊形ABCD是任意四邊形（不是梯形或平行四邊形）的紙片，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點．依次沿EF、FG、GH、HE剪開得到四邊形紙片EFGH．請判斷四邊形紙片EFGH的形狀，并說明理由．
（2）你能將上述四邊形紙片ABCD經過恰當地剪切后拼合（無重疊無縫隙）成一個平行四邊形紙片？請在圖4上畫出對應的示意圖．

（3）如圖5，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點，若△AEH、△BEF、△CFG、△DGH的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，且S₁=2，S₃=5，則四邊形ABCD是面積是

 

．（不要求說明理由）

Answer 1

分析：操作2：根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行分析判斷；
（1）根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行分析判斷；
（2）依照操作2進行畫圖；
（3）根據三角形的中位線定理和相似三角形的性質求解．

解答：
解：操作2：連接BD．
根據三角形的中位線定理，得
EH∥BD，EH=

1

2

BD，FG∥BD，FG=

1

2

BD，
根據旋轉的性質，得F₁G₁∥EH，F₁G₁=EH．
所以F₁G₁∥FG，F₁G₁=FG，
所以四邊形FF₁G₁G的形狀是平行四邊形．

（1）連接BD．
根據三角形的中位線定理，得
EH∥BD，EH=

1

2

BD，FG∥BD，FG=

1

2

BD，
則EH∥FG，EH=FG，
則四邊形紙片EFGH的形狀是平行四邊形．
（2）見上述操作2；
（3）28．

點評：此題綜合考查了三角形的中位線定理、旋轉的性質以及相似三角形的性質．