Question

【題目】如圖（1），AD，BC交于O點，根據“三角形內角和是180°”，不難得出兩個三角形中的角存在以下關系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B．

（提出問題）

分別作出∠BAD和∠BCD的平分線，兩條角平分線交于點E，如圖（2），∠E與∠D、∠B之間是否存在某種數量關系呢？

（解決問題）

為了解決上面的問題，我們先從幾個特殊情況開始探究．

已知∠BAD的平分線與∠BCD的平分線交于點E．

（1）如圖（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，則∠E＝　 　．

（2）如圖（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，則∠E的度數是多少呢？

小明是這樣思考的，請你幫他完成推理過程：

易證∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，

∴∠D+∠1+∠B+∠4＝　 　，

∵CE、AE分別是∠BCD、∠BAD的平分線，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∴2∠E＝　 　，

又∵∠D＝30°，∠B＝50°，

∴∠E＝　 　度．

（3）在總結前兩問的基礎上，借助圖（2），直接寫出∠E與∠D、∠B之間的數量關系是：　 　．

（類比應用）

如圖（5），∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E．

已知：∠D＝m°、∠B＝n°，（m＜n）求：∠E的度數．

Answer 1

【答案】【解決問題】（1）35°；（2）2∠E+∠3+∠2，∠D+∠B，40°；（3）∠E＝；【類比應用】∠E＝（n﹣m）°．

【解析】

解決問題：（1）根據兩個三角形的有一對對頂角相等得：∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，兩式相加后，再根據角平分線的定義可得結論；

（2）同理列兩式相加可得結論；

（3）根據（1）和（2）可得結論；

類比應用：首先延長BC交AD于點F，由三角形外角的性質，可得∠BCD＝∠B+∠BAD+∠D，又由角平分線的性質，即可求得答案．

解決問題：（1）如圖3，∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，

∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，

∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB＝2∠E+∠DAE+∠ECB，

∵EC平分∠ECB，AE平分∠BAD，

∴∠DCE＝∠ECB，∠DAE＝∠BAE，

∴2∠E＝∠B+∠D，

∴∠E＝

∴∠E＝（30°+40°）＝×70°＝35°；

故答案為：35°；

（2）如圖（4），∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，

∴∠D+∠1+∠B+∠4＝2∠E+∠3+∠2，

∵CE、AE分別是∠BCD、∠BAD的平分線，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∴2∠E＝∠D+∠B，

∴∠E＝，

又∵∠D＝30°，∠B＝50°，

∴∠E＝40度．

故答案為：2∠E+∠3+∠2，∠D+∠B，40°；

（3）由（1）和（2）得：∠E＝，

故答案為：∠E＝；

類比應用:

如圖（5），延長BC交AD于F，

∵∠BFD＝∠B+∠BAD，

∴∠BCD＝∠BFD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D，

∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD

∴∠ECD＝∠ECB＝∠BCD，∠EAD＝∠EAB＝∠BAD，

∵∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，

∴∠E＝∠B+∠EAB﹣∠ECB＝∠B+∠BAE﹣∠BCD＝∠B+∠BAE﹣（∠B+∠BAD+∠D）＝（∠B﹣∠D），

∵∠D＝m°、∠B＝n°，

即∠E＝（n﹣m）°．