Question

【題目】定義函數f（x），當x≤3時，f（x）=x2﹣2x，當x＞3時，f（x）=x2﹣10x+24，若方程f（x）=2x+m有且只有兩個實數解，則m的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】m＞﹣3或﹣12＜m＜﹣4
【解析】解：∵x≤3時，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1， ∴該拋物線的頂點坐標為（1，﹣1），
當f（x）=0時，由x2﹣2x=0得x=0或x=2，
∴拋物線與x軸的交點為（0，0）和（2，0），
∵x＞3時，f（x）=x2﹣10x+24=（x﹣5）2﹣1，
∴此時拋物線的頂點坐標為（5，﹣1），
當f（x）=0時，由x2﹣10x+24=0得x=4或x=6，
∴此時拋物線與x軸的交點為（4，0）和（6，0），
由 可得 ，即兩拋物線交點坐標為（3，3），
如圖所示：

直線f（x）=2x+m可看作直線y=2x平移得到，
①當直線f（x）=2x+m過點（3，3），即6+m=3，得m=﹣3時，
直線f（x）=2x+m與f（x）=x2﹣2x的圖象有兩個交點；
②當直線f（x）=2x+m與f（x）=x2﹣2x有一個交點，即x2﹣2x=2x+m只有一個解時，方程f（x）=2x+m有且只有兩個解，
解得：m=﹣4，
當直線f（x）=2x+m與f（x）=x2﹣10x+24只有1個交點時，即2x+m=x2﹣10x+24只有一個解，
解得：m=﹣12，
由圖象可知當m＞﹣3或﹣12＜m＜﹣4時，方程f（x）=2x+m有且只有兩個實數解，
所以答案是：m＞﹣3或﹣12＜m＜﹣4．
【考點精析】利用拋物線與坐標軸的交點對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．