Question

已知反比例函數的圖象與一次函數y=-x+6相交與第一象限的A、B兩點，如圖所示，過A、B兩點分別做x、y軸的垂線，線段AC、BD相交與P，給出以下結論：
①OA=OB；②△OAM∽△OBN；③若△ABP的面積是8，則k=5；④P點一定在直線y=x上，
其中正確命題的個數是（ ）個．

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①先求出直線y=-x+6與兩坐標軸的交點坐標可得出△OEF是等腰直角三角形，故E、F兩點關于直線y=x對稱，再由反比例函數的圖象關于直線y=x對稱可知A、B兩點關于直線y=x對稱，故可得出y=x是線段AB的垂直平分線，由此即可得出結論；
②根據A、B兩點關于直線y=x對稱，AM⊥y軸，BN⊥x軸可知AM=BM，再由①知OA=OB，所以△OAM≌△OBN，故△OAM∽△OBN；
③設A（x，6-x），則B（6-x，x），P（x，6-2x），再由三角形的面積公式求出x的值，故可得出A點坐標，再根據點A在反比例函數的圖象上即可求出反比例函數的解析式；
④根據點A、B關于直線y=x對稱可知，OM=ON，再由AM⊥y軸，AC⊥x軸，BD⊥y軸，BN⊥x軸可知，四邊形AMOC與四邊形BDON均是矩形，由②知AM=BN，故OC=OD，所以AP=PB，所以點P在線段AB的垂直平分線上，所以點P在直線y=x上．
解答：解：①∵令x=0，則y=6，令y=0，則x=6，
∴E（0，6），F（6，0），
∴E、F兩點關于直線y=x對稱，
∵反比例函數的圖象關于直線y=x對稱，
∴A、B兩點關于直線y=x對稱，
∴y=x是線段AB的垂直平分線，
∴OA=OB，故①正確；
②∵A、B兩點關于直線y=x對稱，AM⊥y軸，BN⊥x軸，
∴AM=BN，
∵由①知OA=OB，
∴△OAM≌△OBN，
∴△OAM∽△OBN，故②正確；
③設A（x，6-x），
∵A、B兩點關于直線y=x對稱，
∴B（6-x，x），P（x，6-2x），
∵△ABP的面積是8，
∴S_△ABP=PB•AP=（6-2x）（6-2x）=8，解得x=1或x=5，
∵當x=1時，6-x=5，∴A（1，5）；
當x=5時，6-x=1，∴A（5，1）；
∵點A在反比例函數y=的圖象上，
∴k=1×5=5，故③正確；
④∵點A、B關于直線y=x對稱，
∴OM=ON，
∵AM⊥y軸，AC⊥x軸，BD⊥y軸，BN⊥x軸，
∴四邊形AMOC與四邊形BDON均是矩形，
∵由②知AM=BN，
∴OC=OD，
∴AP=PB，
∴點P在線段AB的垂直平分線上，
∴點P在直線y=x上，故④正確．
故選D．
點評：本題考查的是反比例函數綜合題，熟知關于直線y=x對稱的點的坐標特點是解答此題的關鍵．