Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．翻折∠C，使點C落在斜邊上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）．若△CEF與△ABC相似，則AD的長為_____．

Answer 1

【答案】 或

【解析】分析：若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：①若若CE:CF=3:4，如圖1所示，此時EF∥AB. CD為AB邊上的高，②若CF:CE=3:4，如圖2所示．由相似三角形角之間的關系，可以推出∠A=∠ECD，與∠CEF=∠B.從而得到，即D點為AB的中點．

詳解：若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：

若CE:CF=3:4，如圖1所示：

∵CE:CF=AC:BC，

∴EF∥AB.

由折疊性質可知，CD⊥EF，

∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高，

在Rt△ABC中,∵

∴

∴

∴AD=ACcosA=

若CF:CE=3:4，如圖2所示：

∵△CEF∽△CBA，

∴∠CEF=∠B.

由折疊性質可知,

又∵

∴∠A=∠ECD，

∴AD=CD.

同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，

∴D點為AB的中點，

∴

綜上所述，AD的長為或

故答案為：或