Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=2AB=2AD=4．以AB為直徑作
⊙O，點P在梯形內的半圓弧上運動，則△CPD 的最小面積是_______________．

Answer 1

首先過點O作OE⊥CD交CD的延長線于E，OE交⊙O 于P，則△PCD就是所求的三角形，連接OC、OD，過點D作DF⊥BC于點F，由直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=2AB=2AD=4．易求得△OCD的面積與CD的長，繼而求得OE的長，則可求得PE的長，繼而求得△CPD的最小面積．
解：過點O作OE⊥CD交CD的延長線于E，OE交⊙O 于P，則△PCD就是所求的三角形，連接OC、OD，過點D作DF⊥BC于點F，

∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=∠B=∠BFD=90°，
∴四邊形ABDF是矩形，
∴BF=AD，DF=AB，
∵BC=2AB=2AD=4，
∴AD=AB=2，
∵以AB為直徑作⊙O，
∴OA=OB=1，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）?AB=×（2+4）×2=6，S_△OAD=OA?AD=×1×2=1，S_△OBC=OB?BD=×1×4=2，
∴S_△ODC=S_梯形ABCD-S_△OAD-S_△OBC=6-1-2=3，
在Rt△DFC中，CF=BC-BF=4-2=2，DF=AB=2，
∴CD=，
∵S_△OCD=CD?OE=3，
∴OE=，
∴PE=OE-OP=-1，
∴S_△CPD=CD?PE=×2×（-1）=3-．
故答案為：3-