Question

如圖，AB是⊙O的直徑，切線BC是⊙O相交于點D，BC=3，CD=2．
（1）求⊙O的半徑；
（2）連接AD并延長，交BC于點E，取BE的中點F，連接DF，試判斷DF與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△BCO中，利用勾股定理列出關于半徑的等式即可求解；
（2）連接OF利用三角形全等得到∠ODF=∠OBC=90°，又因為OD是半徑，所以相切．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，
∴AB⊥BC（1分）；
設⊙O的半徑為r，在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²，
∴（r+2）²=r²+3²（2分），
∴r=，
∴⊙O的半徑為（3分）；

（2）連接OF；
∵BO=OA，BF=FE，
∴OF∥AE（4分），
∴∠1=∠A，∠2=∠ADO；（5分）
又∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，（6分）
∴∠1=∠2；（7分）
∵OB=OD，∠1=∠2，OF=OF，
∴△OBF≌△ODF，（8分）
∴∠ODF=∠OBF=90°，即OD⊥DF；（9分）
∵OD是半徑，
∴DF是⊙O的切線，
即DF與⊙O相切；（10分）
點評：本題考查勾股定理、切線的性質和切線的判定，熟練掌握定理對解好幾何題目很重要．