Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于點F，交BP于點G，E在CD的延長線上，EP=EG,
（1）求證：直線EP為⊙O的切線；
（2）點P在劣弧AC上運動，其他條件不變，若BG²=BF·BO.試證明BG=PG.
（3）在滿足（2）的條件下，已知⊙O的半徑為3，sinB=.求弦CD的長.

Answer 1

（1）（2）證法見解析；（3）CD=4

試題分析：（1）連接OP,根據切線的判定定理證OP⊥EP即可；（2）連接OG根據相似三角形的判定定理證
△BFG∽△BGO得∠BFG=∠BGO=90°再由垂徑定理得BG=PG；（3）由sinB===得OG=∴BG=，由BG²=BF·BO得BF=2，∴OF=1由勾股定理得DF=2再由垂徑定理得CD=4
試題解析：

（1）連接OP，∵OP="OB" ∴∠OPB=∠B
∵EP=EG ∴∠EPG=∠EGP 又∵∠EGP=∠BGF
∠BGF+∠B=90°
∴∠OPB+∠EPG=90° OP過圓心，
∴直線EP為⊙O的切線；
∵BG²=BF·BO ∴ 又∵∠GBF=∠OBG
∴△GBF∽△OBG ∴∠GFB=∠OGB=90°
∴OG⊥PB ,  OG過圓心
BG=PG.
在Rt△OGB中，sinB===
∴OG=
由射影定理得：OG²="OF" OB
∴（）²=OF×3    OF=1
在Rt△OFB中  FD=2
∵OF⊥CD  FO過圓心
∴FD=FC ∴CD="2" FD=4