Question

11．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D為BC邊的中點，以AD上一點O為圓心的⊙O和AB、BC均相切，則⊙O的半徑為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{6}{7}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 1.5

Answer 1

分析 首先過點0作OE⊥AB于點E，OF⊥BC于點F．根據切線的性質，知OE、OF是⊙O的半徑；然后由三角形的面積間的關系（S_△ABO+S_△BOD=S_△ABD=S_△ACD）列出關于圓的半徑的等式，求得圓的半徑即可．

解答 解：過點0作OE⊥AB于點E，OF⊥BC于點F．
∵AB、BC是⊙O的切線，
∴點E、F是切點，
∴OE、OF是⊙O的半徑；
∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴由勾股定理，得BC=4；
又∵D是BC邊的中點，
∴S_△ABD=S_△ACD，
又∵S_△ABD=S_△ABO+S_△BOD，
∴$\frac{1}{2}$AB•OE+$\frac{1}{2}$BD•OF=$\frac{1}{2}$CD•AC，
即5×OE+2×OE=2×3，
解得OE=$\frac{6}{7}$，
∴⊙O的半徑是$\frac{6}{7}$．
故選B．

點評 本題考查了切線的性質與三角形的面積．注意運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．