Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=45°，AB=AC，點D為BC中點，直角∠MDN繞點D旋轉，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點，下列結論：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE＋CF=EF，其中正確結論是（ ）

A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據等腰直角三角形的性質可得∠CAD＝∠B＝45°，根據同角的余角相等求出∠ADF＝∠BDE，然后利用“角邊角”證明△BDE和△ADF全等，判斷出③正確；根據全等三角形對應邊相等可得DE＝DF、BE＝AF，從而得到△DEF是等腰直角三角形，判斷出①正確；再求出AE＝CF，判斷出②正確；根據BE+CF＝AF+AE，利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得BE+CF＞EF，判斷出④錯誤．

∵∠B＝45°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形．

∵點D為BC中點，∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，∴∠CAD＝∠B．

∵∠MDN是直角，∴∠ADF+∠ADE＝90°．

∵∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，∴∠ADF＝∠BDE．

在△BDE和△ADF中，∵，∴△BDE≌△ADF（ASA），故③正確；

∴DE＝DF，BE＝AF，∴△DEF是等腰直角三角形，故①正確；

∵AE＝AB﹣BE，CF＝AC﹣AF，∴AE＝CF，故②正確；

∵BE+CF＝AF+AE，∴BE+CF＞EF，故④錯誤；

綜上所述：正確的結論有①②③．

故選C．