Question

【題目】如圖，拋物線L1：y=﹣x2+bx+c經過點A（1，0）和點B（5，0）已知直線l的解析式為y=kx﹣5．

（1）求拋物線L1的解析式、對稱軸和頂點坐標．

（2）若直線l將線段AB分成1：3兩部分，求k的值；

（3）當k=2時，直線與拋物線交于M、N兩點，點P是拋物線位于直線上方的一點，當△PMN面積最大時，求P點坐標，并求面積的最大值．

（4）將拋物線L1在x軸上方的部分沿x軸折疊到x軸下方，將這部分圖象與原拋物線剩余的部分組成的新圖象記為L2

①直接寫出y隨x的增大而增大時x的取值范圍；

②直接寫出直線l與圖象L2有四個交點時k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）解析式為y=﹣x2+6x﹣5，對稱軸：直線x=3，頂點坐標（3，4）；（2）k=或k=；（3）當x=2時，SPMN最大，最大值為8，此時P（2，3）；（4）①當x≤1或3≤x≤5時y隨x的增大而增大；②當＜k＜1時，直線l與圖象L2有四個交點．

【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式；（2）根據線段的比，可得直線與x軸的交點，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；（3）根據平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PH，根據三角形的面積，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；（4）①根據函數圖象的增減趨勢，可得答案；②根據函數圖象的交點，可得直線經過D，B點，根據自變量與函數值的對應關系，可得相應的k值，可得答案．

（1）∵拋物線L1：y=﹣x2+bx+c經過點A（1，0）和點B（5，0）

∴y=﹣（x﹣1）（x﹣5）=﹣（x﹣3）2+4，

∴拋物線L1的解析式為y=﹣x2+6x﹣5

對稱軸：直線x=3

頂點坐標（3，4）；

（2）∵直線l將線段AB分成1：3兩部分，則l經過點（2，0）或（4，0），

∴0=2k﹣5或0=4 k﹣5

∴k=或k=.

（3）如圖1

，

設P（x，﹣x2+6x﹣5）是拋物線位于直線上方的一點，

解方程組，解得

或

不妨設M（0，﹣5）、N（4，3）

∴0＜x＜4

過P做PH⊥x軸交直線l于點H，

則H（x，2x﹣5），

PH=﹣x2+6x﹣5﹣（2x﹣5）=﹣x2+4x，

S△PMN=PHxN

=（﹣x2+4x）×4

=﹣2（x﹣2）2+8

∵0＜x＜4

∴當x=2時，SPMN最大，最大值為8，此時P（2，3）

（4）如圖2

，

A（1，0），B（5，0）．由翻折，得D（3，﹣4），

①當x≤1或3≤x≤5時y隨x的增大而增大

②當y=kx﹣5過D點時，3k﹣5=﹣4，解得k=，

當y=kx﹣5過B點時，5k﹣5=0，解得k=1，

直線與拋物線的交點在BD之間時有四個交點，即＜k＜1，

當＜k＜1時，直線l與圖象L2有四個交點．