Question

【題目】在平面直角坐標系中，正方形ABCD 的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2），延長CB交x軸于點A1，作正方形A1CC1B1，延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2C1C2B2，…，按照這樣的規律作正方形，則點B2019的縱坐標為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根據兩對對應角相等的三角形相似，證明△AOD和△A1BA相似，根據相似三角形對應邊成比例可以得到AB＝2A1B，所以正方形A1B1C1C的邊長等于正方形ABCD邊長的，以此類推，后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的，再過B點作BH⊥x軸，過B1點作B1H1⊥x軸，根據正方形的性質證明△AOD≌△BHA，求出B點坐標，再根據△ABH∽△A1B1H1，得到B1縱坐標與B點縱坐標的關系，以此類推，即可得到點B2019的縱坐標

如圖，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠BAD＝90，AB＝BC，

∴∠ABA1＝90，∠DAO＋∠BAA1＝90，

又∵在坐標平面內，∠DAO＋∠ADO＝90，

∴∠ADO＝∠BAA1，

在△AOD和△A1BA中，

∠AOD＝∠ABA1＝90

∠ADO＝∠BAA1，

∴△AOD∽△A1BA，

∴OD：AO＝AB：A1B＝2，

∴BC＝2A1B，

∴A1C＝BC，

以此類推A2C1＝A1C，A3C2＝A2C1，…，

即后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的倍，

過B點作BH⊥x軸，

在△AOD和△BHA中

∴△AOD≌△BHA

∴BH=AO=1

作過B1點作B1H1⊥x軸，

∵BH∥B1H1，

∴△ABH∽△A1B1H1，

∴

∴

∴

作過B2點作B2H2⊥x軸，

同理△A1B1H1∽△A2B2H2，

∴

∴

以此類推：

∴B2019H2019=

∴點B2019的縱坐標為

故答案為：．