Question

【題目】拋物線l1：y＝x2+bx+c與它的對稱軸x＝﹣2交于點A，且經過點B（0，﹣2）．

（1）求拋物線l1的解析式；

（2）如圖1，直線y＝kx+2k﹣8（k＜0）與拋物線l1交于點E，F，若△AEF的面積為，求k的值；

（3）如圖2，將拋物線l1向下平移n（n＞0）個單位長度得到拋物線l2，拋物線l2與y軸交于點C，過點C作x軸的平行線交拋物線l2于另一點D；拋物線l2的對稱軸與x軸的交于點M，P為線段OC上一點，若△POM與△PCD相似，并且符合該條件的點P有且只有2個，求n的值及相應點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+4x﹣2；（2）k＝﹣4；（3）當n＝4﹣2時，點P的坐標為（0，﹣2）和（0，﹣）；當n＝4時，點P坐標為（0，﹣2）和（0，﹣4）．

【解析】

（1）待定系數法求解可得；

（2）設直線y=kx+2k-8與拋物線l1的對稱軸交點為G，則G（-2，-8），由頂點A坐標知AG=2，由S△AEF=S△AGE-S△AGF=AG（-2-xE）-AG（-2-xF）=AG（xF-xE）=2知xF-xE=2，再聯立得，消去y整理得x2+（4-k）x-2k+6=0，據此知，繼而得出xF-xE=，據此可得關于k的方程，解之可得答案；

（3）分△PCD∽△MOP和△PCD∽△POM得出t關于n的關系式，再根據符合該條件的點P有且只有兩個，進一步求解可得．

解：（1）∵y＝x2+bx+c與它的對稱軸x＝﹣2交于點A，且經過點B（0，﹣2）

∴可得，解得，

∴拋物線l1的解析式為y＝x2+4x﹣2．

（2）如圖1，設直線y＝kx+2k﹣8與拋物線l1的對稱軸交點為G，則G（﹣2，﹣8），

又可得拋物線l1的頂點A（﹣2，﹣6），

∴AG=2，

S△AEF=S△AGE﹣S△AGF

又∵S△AEF＝2，AG＝2，

∴xF﹣xE＝2，

將拋物線l1與直線y＝kx+2k﹣8聯立得，

消去y得x2+4x﹣2＝kx+2k﹣8，

整理得x2+（4﹣k）x﹣2k+6＝0，得，

∴xF﹣xE＝，

∴，

解得k＝±4，

又k＜0，

∴k＝﹣4．

（3）設拋物線l2的解析式為y＝x2+4x﹣2﹣m，

∴C（0，﹣2﹣n），D（﹣4，﹣2﹣n），M（﹣2，0）

設P（0，t）．

①當△PCD∽△MOP時，，

∴，

∴t2+（n+2）t+8＝0；

②當△PCD∽△POM時，，

∴，

∴t=；

（Ⅰ）當方程①有兩個相等實數根時，

△＝（n+2）2﹣4×1×8＝0，

解得n＝±4﹣2，

又n＞0，

∴n＝4﹣2，

此時方程①有兩個相等實根t1＝t2＝﹣2，方程②有一個實數根t= ；

∴n＝4﹣2，

此時點P的坐標為（0，﹣2）和（0，）；

（Ⅱ）當方程①有兩個不相等的實數根時，

把②代入①，得：，即（n+2）2＝36，

解得n1＝4，n2＝﹣8，

又n＞0，

∴n＝4，

此時方程①有兩個不相等的實數根，t1＝﹣2，t2＝﹣4，方程①有一個實數根t＝﹣2；

∴n＝4，

此時點P坐標為（0，﹣2）和（0，﹣4），

綜上，當n＝4﹣2時，點P的坐標為（0，﹣2）和（0，）；當n＝4時，點P坐標為（0，﹣2）和（0，﹣4）．