Question

19．如圖，已知半圓O的直徑AB=4，點P是半圓上不與點A、B重合的動點，延長AP到點D，使AP=PD，連接BD，點C是BD的中點，連接OP、OC、PC．
（1）求證：四邊形AOCP是平行四邊形；
（2）填空：
①當AP=2時，四邊形AOCP是菱形；
②當AP=2$\sqrt{2}$時，四邊形OBCP是正方形．

Answer 1

分析 （1）先判斷出PC是△ABD的中位線，即可得出四邊形AOCP是平行四邊形；
（2）①借助（1）的結論，得出平行四邊形AOCP要是菱形則有鄰邊相等，即AP=OA即可；
②同（1）的方法先判斷出四邊形OBCP是平行四邊形，由OP=OB得出平行四邊形OBCP是菱形，要使菱形是正方形則有∠BOP=90°，最后用勾股定理即可求出AP的值．

解答 解：（1）∵點C是BD的中點，
∴CD=CB，
∵AP=PD，
∴PC是△ABD的中位線，
∴PC∥AB，PC=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB，
∴PC=OA，
∵PC∥OA，
∴四邊形AOCP是平行四邊形；
（2）①由（1）知，四邊形AOCP是平行四邊形，
∵四邊形AOCP是菱形，
∴AP=OA=2，即：AP=2時，四邊形AOCP是菱形，
故答案為=2；

②∵點C是BD的中點，
∴CD=CB，
∵AP=PD，
∴PC是△ABD的中位線，
∴PC∥AB，PC=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB，
∴PC=OB，
∵PC∥OB，
∴四邊形OBCP是平行四邊形，
∵OP=OB，
∴平行四邊形OBCP是菱形，
∴只要∠BOP=90°時，菱形OBCP是正方形，
∴∠AOP=90°，
∵OA=OP，
∴AP=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，
故答案為=2$\sqrt{2}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了三角形的中位線的性質，勾股定理，平行四邊形的判斷，菱形的性質和判定，正方形的直線，解（1）的關鍵是得出PC∥AB，PC=$\frac{1}{2}$AB，解（2）的關鍵是得出四邊形OBCP是菱形．