Question

【題目】已知正方形ABCD中，點E，F分別為BC，CD上的點，連接AE，BF相交于點H，且AE⊥BF.

(1)如圖1，連接AC交BF于點G，求證：∠AGF＝∠AEB＋45°；

(2)如圖2，延長BF到點M，連接MC，若∠BMC＝45°，求證：AH＋BH＝BM；

(3)如圖3，在(2)的條件下，若點H為BM的三等分點，連接BD，DM，若HE＝1，求△BDM的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；（3）6.

【解析】

（1）根據正方形的性質得到∠ACB=∠ACD=45°，根據余角 的性質得到∠AEB=∠BFC，于是得到結論；
（2）過C作CK⊥BM于K，得到∠BKC=90°，推出四邊形ABCD是正方形，根據正方形的性質得到AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，得到∠ABH=∠BCK，在△ABH根據全等三角形的性質即可得到結論；
（3）過E作EN⊥CK于N，得到四邊形HENK是矩形，根據矩形的性質得到HK=EN=BH，∠BHE=∠NEC，根據全等三角形的性質得到HE=CN=NK=1，求得CK=BH=2，得到BM=6，連接CH，根據全等三角形的性質得到BH=DM=2，∠BHC=∠DMC=135°．求得∠DMB=90°，于是得到結論．

(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∵AE⊥BF，

∴∠AEB＋∠FBC=90°，

∵∠FBC＋∠BFC=90°,

∴∠AEB=∠BFC，

∵∠AGF=∠BFC＋∠ACF，

∴∠AGF=∠AEB＋45°.

(2)過C作CK⊥BM于K，

∴∠BKC=∠AHB=90°，

∵∠BMC=45°，

∴CK=MK，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠ABH=∠BCK，

∴△ABH≌△BCK(AAS)，

∴BH=CK=MK，AH=BK，∴BM=BK＋MK=AH＋BH.

(3)由(2)得，BH=CK=MK，∵H為BM的三等分點，

∴BH=HK=KM，

過E作EN⊥CK于N，∴四邊形HENK是矩形，

∴HK=EN=BH，∠BHE=∠ENC，∴△BHE≌△ENC(ASA)，

∴HE=CN=NK=1，∴CK=BH=2，

∴BM=6，

連接CH，

∵HK=MK，CK⊥MH，∠BMC=45°，∴CH=CM，∠MCH=90°，

∴∠BCH=∠DCM，∴△BHC≌△DMC(SAS)，

∴BH=DM=2，∠BHC=∠DMC=135°，

∴∠DMB=90°，

∴△BDM的面積為DM·BM=6.