Question

【題目】在數學興趣小組的活動中，小明進行數學探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖①位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．

⑴小明發現DG⊥BE，請你幫他說明理由．

⑵如圖②，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】（1）延長EB交DG于點H，先證出Rt△ADG≌Rt△ABE，得出∠AGD=∠AEB，﹢根據∠HBG=∠EBA，得出∠HGB+∠HBG=90°即可；

（2）過點A作AP⊥BD交BD于點P，根據△DAG≌△BAE得出DG=BE，∠APD=90°，求出AP、DP，利用勾股定理求出PG，﹢根據DG=DP+PG求出DG，最后根據DG=BE即可得出答案.

解：(1)如解圖①所示，延長EB交DG于點H.

∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，

∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE，

∴△ADG≌△ABE(SAS)， ∴∠AGD＝∠AEB.

在△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°，

∴∠AEB＋∠ADG＝90°.

在△EDH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°，

∴∠DHE＝90°，即DG⊥BE

(2)如解圖②，連結DG，過點A作AM⊥DG交DG于點M，

∠AMD＝∠AMG＝90°.

∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，

∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE，

∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG，即∠DAG＝∠BAE.

在△ADG和△ABE中，

∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴DG＝BE.

∵BD為正方形ABCD的對角線，∴∠MDA＝45°.

在Rt△AMD中，∠MDA＝45°，

∵AD＝2，∴DM＝AM＝，

在Rt△AMG中，根據勾股定理得：

GM＝＝.

∵DG＝DM＋GM＝＋，

∴BE＝DG＝＋