Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax2﹣ax+6與x軸負半軸交于點A，與x軸的正半軸交于點B，且AB=7．

（1）如圖1，求a的值；
（2）如圖2，點P在第一象限內拋物線上，過P作PH∥AB，交y軸于點H，連接AP，交OH于點F，設HF=d，點P的橫坐標為t，求d與t之間的函數關系式，并直接寫出t的取值范圍；
（3）如圖3，在（2）的條件下，當PH=2d時，將射線AP沿著x軸翻折交拋物線于點M，在拋物線上是否存在點N，使∠AMN=45°，若存在，求出點N的坐標．若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2﹣ax+6與x軸負半軸交于點A，與x軸的正半軸交于點B，且AB=7，

又∵對稱軸x=﹣ = ，

∴A（﹣3，0），B（4，0），

把（﹣3，0）代入y=ax2﹣ax+6得a=﹣

（2）

解：由拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+6，設P（t，﹣ t2+ t+6），

∵PH∥OA，HF=d，OF=﹣ t2+ t+6﹣d，PH=t，OA=3，

∴ ，

∴ = ，

∴d= t=﹣ +2t（0＜t＜4）

（3）

解：∵t=PH=2d，

∴d= ，

∴ =﹣ t2+2t，

解得t=3或0（舍棄），

∴P（3，3），點P關于x軸的對稱點K（3，﹣3），

∴直線AM的解析式為y=﹣ x﹣ ，

由 解得 或 ，

∵A（﹣3，0），

∴M（5，﹣4），

如圖3中，將線段MA繞點M順時針旋轉90°得到線段MG，過點A作y軸的平行線，過點M作x軸的平行線，兩直線交于點E，作GD⊥EM交EM的延長線于D．

易知△AME≌△MGD，∴AE=DM=4，EM=DG=8，

∴G（9，4），

取線段AG的中點T（3，2），作直線MT交拋物線于N1，此時∠AMN1=45°，

∵直線MT的解析式為y=﹣3x+11，

由 解得 或 ，

∵M（5，﹣4），

∴N1（2，5）．

設點G關于直線AM的對稱點為G1，則G1（1，﹣12），取AG1的中點T1，作直線MT1交拋物線于N2，則∠N2MA=45°，

∵直線MT1的解析式為y= x﹣ ，

由 解得 或 ，

∵M（5，﹣4），

∴N2（﹣ ，﹣ ）．

綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（2，5）或（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（1）根據對稱軸x= ，以及AB=7，可得A（﹣3，0），B（4，0），利用待定系數法即可求出a的值．（2）由拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+6，設P（t，﹣ t2+ t+6），由PH∥OA，HF=d，OF=﹣ t2+ t+6﹣d，PH=t，OA=3，得到 ，列出方程即可解決問題．（3）首先求出直線AM的解析式，利用方程組求得點M的坐標，分兩種情形討論①如圖3中，將線段MA繞點M順時針旋轉90°得到線段MG，過點A作y軸的平行線，過點M作x軸的平行線，兩直線交于點E，作GD⊥EM交EM的延長線于D．易知△AME≌△MGD，推出AE=DM=4，EM=DG=8，推出G（9，4），取線段AG的中點T（3，2），作直線MT交拋物線于N1 ， 此時∠AMN1=45°，求出直線MT的解析式利用方程組求出交點N的坐標．②設點G關于直線AM的對稱點為G1 ， 則G1（1，﹣12），取AG1的中點T1 ， 作直線MT1交拋物線于N2 ， 則∠N2MA=45°，求出直線MT1的解析式，利用方程組即可求出點N1的坐標．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．