Question

【題目】如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，點P從點A出發，沿折線AB﹣BC向終點C運動，在AB上以每秒5個單位長度的速度運動，在BC上以每秒3個單位長度的速度運動，點Q從點C出發，沿CA方向以每秒 個單位長度的速度運動，P，Q兩點同時出發，當點P停止時，點Q也隨之停止．設點P運動的時間為t秒．

（1）求線段AQ的長；（用含t的代數式表示）
（2）連結PQ，當PQ與△ABC的一邊平行時，求t的值；
（3）如圖②，過點P作PE⊥AC于點E，以PE，EQ為鄰邊作矩形PEQF，點D為AC的中點，連結DF．設矩形PEQF與△ABC重疊部分圖形的面積為S．①當點Q在線段CD上運動時，求S與t之間的函數關系式；②直接寫出DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2時t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，

∴AC= = =8，

∵CQ= t，

∴AQ=8﹣ t（0≤t≤4）．

（2）解：①當PQ∥BC時， = ，

∴ = ，

∴t= s．

②當PQ∥AB時， = ，

∴ = ，

∴t=3，

綜上所述，t= s或3s時，當PQ與△ABC的一邊平行．

（3）解：①如圖1中，a、當0≤t≤ 時，重疊部分是四邊形PEQF．

S=PEEQ=3t（8﹣4t﹣ t）=﹣16t2+24t．

b、如圖2中，當 ＜t≤2時，重疊部分是四邊形PNQE．

S=S四邊形PEQF﹣S△PFN=（16t2﹣24t）﹣ [5t﹣ （8﹣ t）] [5t﹣ （8﹣ t）]= ．

c、如圖3中，當2＜t≤3時，重疊部分是五邊形MNPBQ．

S=S四邊形PBQF﹣S△FNM= t[6﹣3（t﹣2）]﹣ [ t﹣4（t﹣2）] [ t﹣4（t﹣2）]=﹣ t2+32t﹣24．

②a、如圖4中，當DE：DQ=1：2時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．

則有（4﹣4t）：（4﹣ t）=1：2，解得t= s，

b、如圖5中，當NE：PN=1：2時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．

∴DE：DQ=NE：FQ=1：3，

∴（4t﹣4）：（4﹣ t）=1：3，

解得t= s，

綜上所述，當t= s或 s時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．

【解析】（1）由線段之差可表示出AQ=8﹣ t;（2）由于點Q在AC上，PQ不會與AC平行，因此分類討論PQ∥BC與PQ∥AB兩類；（2）以t=2和為分界點分為三段：0≤t≤ 、 ＜t≤2、2＜t≤3；（3）需分類為兩種：左上：右下=1：2和左上：右下=2：1.
【考點精析】關于本題考查的函數關系式，需要了解用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式才能得出正確答案．