Question

【題目】如圖，為半圓的直徑，是⊙的一條弦，為的中點，作,交的延長線于點,連接.

（1）求證：為半圓的切線；

（2）若，求陰影區域的面積.（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）-6π

【解析】

試題分析：（1）直接利用切線的判定方法結合圓心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；

（2）直接利用得出S△ACD=S△COD，再利用S陰影=S△AED﹣S扇形COD，求出答案．

試題解析：（1）連接OD，

∵D為的中點，

∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ADO，

∴∠CAD=∠ADO，

∵DE⊥AC，

∴∠E=90°，

∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，

∴OD⊥EF，

∴EF為半圓O的切線；

（2）連接OC與CD，

∵DA=DF，

∴∠BAD=∠F，

∴∠BAD=∠F=∠CAD，

又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°，

∴∠F=30°，∠BAC=60°，

∵OC=OA，

∴△AOC為等邊三角形，

∴∠AOC=60°，∠COB=120°，

∵OD⊥EF，∠F=30°，

∴∠DOF=60°，

在Rt△ODF中，DF=6，

∴OD=DFtan30°=6，

在Rt△AED中，DA=6，∠CAD=30°，

∴DE=DAsin30°·，EA=DAcos30°=9，

∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°，

∴CD∥AB，

故S△ACD=S△COD，

∴S陰影=S△AED﹣S扇形COD=×9×3﹣π×62=﹣6π．