Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，點C在劣弧AB上（不與點A，B重合），點D為弦BC的中點，DE⊥BC，DE與AC的延長線交于點E，射線AO與射線EB交于點F，與⊙O交于點G，設∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，

（1）點點同學通過畫圖和測量得到以下近似數據：

ɑ	30°	40°	50°	60°
β	120°	130°	140°	150°
γ	150°	140°	130°	120°

猜想：β關于ɑ的函數表達式，γ關于ɑ的函數表達式，并給出證明：

（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，求⊙O半徑的長．

Answer 1

【答案】（1）β=α+90°，γ=﹣α+180°（2）5

【解析】

試題分析：（1）由圓周角定理即可得出β=α+90°，然后根據D是BC的中點，DE⊥BC，可知∠EDC=90°，由三角形外角的性質即可得出∠CED=α，從而可知O、A、E、B四點共圓，由圓內接四邊形的性質可知：∠EBO+∠EAG=180°，即γ=﹣α+180°；

（2）由（1）及γ=135°可知∠BOA=90°，∠BCE=45°，∠BEC=90°，由于△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，所以，根據勾股定理即可求出AE、AC的長度，從而可求出AB的長度，再由勾股定理即可求出⊙O的半徑r.

試題解析：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°

連接OB，

∴由圓周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA，

∵OB=OA，

∴∠OBA=∠OAB=α，

∴∠BOA=180°﹣2α，

∴2β=360°﹣（180°﹣2α），

∴β=α+90°，

∵D是BC的中點，DE⊥BC，

∴OE是線段BC的垂直平分線，

∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°

∵∠BCA=∠EDC+∠CED，

∴β=90°+∠CED，

∴∠CED=α，

∴∠CED=∠OBA=α，

∴O、A、E、B四點共圓，

∴∠EBO+∠EAG=180°，

∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，

∴γ+α=180°；

（2）當γ=135°時，此時圖形如圖所示，

∴α=45°，β=135°，

∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，

由（1）可知：O、A、E、B四點共圓，

∴∠BEC=90°，

∵△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，

∴，

∴，

設CE=3x，AC=x，

由（1）可知：BC=2CD=6，

∵∠BCE=45°，

∴CE=BE=3x，

∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，

x=，

∴BE=CE=3，AC=，

∴AE=AC+CE=4，

在Rt△ABE中，

由勾股定理可知：AB2=（3）2+（4）2，

∴AB=5，

∵∠BAO=45°，

∴∠AOB=90°，

在Rt△AOB中，設半徑為r，

由勾股定理可知：AB2=2r2，

∴r=5，

∴⊙O半徑的長為5．