Question

【題目】四邊形ABCD的對角線交于點E，有AE=EC，BE=ED，以AB為直徑的半圓過點E，圓心為O．
（1）利用圖1，求證：四邊形ABCD是菱形．
（2）如圖2，若CD的延長線與半圓相切于點F，已知直徑AB=8． ①連結OE，求△OBE的面積．
②求扇形AOE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AE=EC，BE=ED，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB為直徑，且過點E，

∴∠AEB=90°，即AC⊥BD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）解：①連結OF，

∵DC的延長線于半圓相切于點F，

∴OF⊥CF，

∵FC∥AB，

∴OF即為△ABD中AB邊上的高，

∴S△ABD= AB×OF= ×8×4=16，

∵點O是AB中點，點E是BD的中點，

∴S△OBE= S△ABD=4；

②過點D作DH⊥AB于點H，

∵AB∥CD，OF⊥CF，

∴FO⊥AB，

∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°，

∴四邊形OHDF為矩形，即DH=OF=4，

∵在Rt△DAH中，sin∠DAB= = ，

∴∠DAH=30°，

∵D點O，E分別為AB，BD中點，

∴OE∥AD，

∴∠EOB=∠DAH=30°，

∴∠AOE=180°﹣∠EOB=150°，

∴S扇形AOE= = π．

【解析】（1）首先利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形ABCD是平行四邊形，進而利用菱形的判定方法得出答案；（2）①首先求出△ABD的面積進而得出S△OBE= S△ABD；②首先求出扇形AOE的圓心角，進而利用扇形面積求出答案．