Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，AC平分∠BAD，延長AB到點E且有∠BCE＝∠CAD．

（1）求證：CE是⊙O的切線；

（2）若AB＝10，AD＝6，求BC，CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），

【解析】

（1）連接OC，根據等腰三角形的性質得到∠1＝∠2，根據圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據角平分線的定義得到∠3＝∠CAD，求得CE⊥OC，于是得到結論；

（2）連接CD，分別延長AD、BC相交于點F．根據三角形的內角得到∠3＝∠CAD，根據相似三角形的性質得到，設BC＝x，求得，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）證明：連接OC，

∵在⊙O中OB＝OC，

∴∠1＝∠2，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AC平分∠BAD，

∴∠3＝∠CAD，

∵∠BCE＝∠CAD，

∴∠3＝∠CAD，

∴∠OCE＝∠BCE+∠2＝∠3+∠1＝90°，

∴CE⊥OC，

∴CE是⊙O的切線；

（2）解：連接CD，分別延長AD、BC相交于點F．

在Rt△ACB中，∠1＝90°﹣∠3，

在Rt△ACF中，∠F＝90°﹣∠CAD，

又∵∠3＝∠CAD，

∴∠1＝∠F，

∴在△ABF中，AB＝AF，

∴BC＝CF，

∵在⊙O中∠3＝∠CAD，

∴BC＝CD，

∴CD＝CF，

∴在△CDF中，∠CDF＝∠F，

∴∠1＝∠CDF，

又∵∠F＝∠F，

∴△CDF∽△ABF，

∴，

設BC＝x，則有，

∴，

即，

在Rt△ACB中，，

∵在△BEC和△DAC中，∠BCE＝∠CAD，∠EBC＝∠ADC，

∴△BEC∽△DCA，

∴，

則，

∴．