Question

【題目】如圖，AB是⊙O直徑，直徑AB⊥弦CD于點E，四邊形ADCF是平行四邊形，CD=4，BE=2．

（1）求⊙O直徑和弦AD的長；

（2）求證：FC是⊙O切線．

Answer 1

【答案】（1）⊙O直徑為8，弦AD長為4．（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）設⊙O的半徑為r，連接OC，則OC=r，OE=r﹣2，根據垂徑定理得到CE=CD=2，然后根據勾股定理得到r2=（r﹣2）2+（2）2，求得r=4，從而求得AE=6，在Rt△AED中，根據勾股定理即可求得AD；

（2）連結OF，由四邊形ABCD是平行四邊形得到AF∥DC，則AB⊥AF，即：∠FAO=90°，然后證得平行四邊形ADCF是菱形，得出FC=AF，證得△FCO≌△FAO，得出根據切線的判定得到∠FCO=∠FAO=90°，即可證得FC為⊙O的切線．

解：（1）設⊙O的半徑為r，連接OC，則OC=r，OE=r﹣2

∵直徑AB⊥弦CD

∴CE=CD=×4=2，

在Rt△OCE中：OC2=CE2+OE2 即：r2=（r﹣2）2+（2）2，

解得：r=4，

∴AE=2×4﹣2=6，

在Rt△AED中：AD===4，

∴⊙O直徑為8，弦AD長為4．

（2）連結OF，

∵平行四邊形ADCF中AF∥CD

又∵AB⊥CD，

∴AB⊥AF，即：∠FAO=90°，

由（1）可知AD=CD=4，

∴平行四邊形ADCF是菱形，

∴FC=AF，

在△FCO和△FAO中，

∴△FCO≌△FAO（SSS），

∴∠FCO=∠FAO=90°即：OC⊥FC

∴FC是⊙O切線．