Question

如圖1，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OB =" 2OA" = 4．

（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）設P是（1）中拋物線上的一個動點，以P為圓心，R為半徑作⊙P，求當⊙P與拋物線的對稱軸l及x軸均相切時點P的坐標．
（3）動點E從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，動點F從點B出發，以每秒個單位長度的速度向終點C運動，過點E作EG//y軸，交AC于點G（如圖2）．若E、F兩點同時出發，運動時間為t．則當t為何值時，△EFG的面積是△ABC的面積的？

Answer 1

（1）拋物線為（2）滿足條件的點P的坐標為P₁（，）、P₂（，）、P₃（，）、P₄（，）（3）當t = 1時，△EFG的面積是△ABC的面積的

試題分析：（1）解：∵OB=2OA=4
∴A（–2，0）、B（4，0）
由已知得：

解得：
所求拋物線為
（2）解法一：當點P在第一象限時，
過點P作PQ⊥l于Q，作PR⊥x軸于R

⊙P與x軸、直線l都相切，
∴PQ=PR
由（1）知拋物線的對稱軸l為x = 1，設P（x，）
則PQ = x–1，PR =
∴x–1 = ，解得：（其中舍去）
∴PR =" PQ" = x–1=
∴P（，）
同理，當點P在第二象限時，可得P（，）
當點P在第三象限時，可得P（，）
當點P在第四象限時，可得P（，）
綜上述，滿足條件的點P的坐標為P₁（，）、P₂（，）、P₃（，）、P₄（，）
解法二：由已知得點P也在由對稱軸l及x軸所組成的角的平分線所在的直線m上

當直線m過一、三、四象限時，設直線m與y軸交于N，對稱軸l與x軸交于M
由（1）知直線l為x = 1
故M（1，0）
∵∠OMN =45º=∠ONM
∴ON =" OM" = 1
∴N（0，–1）
∴直線m為：y = x–1
解方程組
得： 
∴點P的坐標為（，）或（，）
當直線m經過一、二、四象限時，
同理可得點P的坐標為（，）或（，）
∴點P的坐標為P₁（，）、P₂（，）、P₃（，）、P₄（，）
（3）解：過點F作FH⊥EG于點H，作FJ⊥x軸于J

由（1）知點C的坐標為（0，–4）
∴OB=OC=4
∵∠OBC=∠OCB = 45º
∴FJ=BJ=
∴F（4–t，t）
∵AE = t，∴E（–2 + t，0）
∴A（–2，0）、C（0，–4）
∴直線AC為：y =–2x–4
把x =–2 + t代入得：y =–2t，∴G（–2 + t，–2t）
∴EG = 2t，FH = (4–t )–(–2 + t ) = 6–2t
∴ 
∵

∴，解得， 
∵當t = 2時，G（0，–4），E（0，0），此時EG與OC重合，不合題意，舍去
∴當t = 1時，△EFG的面積是△ABC的面積的．
點評：本題難度較大，主要考查學生對二次函數解決動點問題綜合運用能力，動點為中考常考題型，要求學生注意培養數形結合思想，培養綜合分析歸納能力，并運用到考試中去。