Question

【題目】（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF＝BE．求證：CE＝CF；

（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE＝45°，請你利用（1）的結論證明：GE＝BE＋GD．

（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：

如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）108

【解析】試題分析：(1)、根據正方形的性質以及BE=DF得出△CBE和△CDF全等，從而得出答案；(2)、延長AD至F，使DF=BE．連接CF，然后證明△ECG和△FCG全等，從而得出GE=GF，從而得出答案；(3)、過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，根據(1)(2)得出DG=6，設AB＝x，則AE＝x－4，AD＝x－6，根據Rt△AED的勾股定理求出x的值，最后根據四邊形的面積= 得出答案.

試題解析：（1）證明：在正方形ABCD中， ∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF． ∴CE＝CF．

（2）證明： 如圖2，延長AD至F，使DF=BE．連接CF．

由（1）知△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF． ∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD

即∠ECF＝∠BCD＝90°， 又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG． ∴GE＝GF

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．

（3）解：如圖3，過C作CG⊥AD，交AD延長線于G．

在四邊形ABCD中， ∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°， 又∠CGA＝90°，AB＝BC，

∴四邊形ABCD 為正方形． ∴AG＝BC． 已知∠DCE＝45°，

根據（1）（2）可知，ED＝BE＋DG． 所以10=4+DG，即DG=6.

設AB＝x，則AE＝x－4，AD＝x－6

在Rt△AED中， ∵，即．

解這個方程，得：x＝12，或x＝－2（舍去）． ∴AB＝12．

所以四邊形ABCD的面積為S=

答：四邊形ABCD的面積為108.