Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線經過點A(-2,0)，B(4,0)兩點，與軸交于點C，點D是拋物線上一個動點，設點D的橫坐標為.連接AC，BC，DB，DC，

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)△BCD的面積等于△AOC的面積的時，求的值；

(3)在(2)的條件下，若點M是軸上的一個動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M,使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)3；(3).

【解析】

(1)利用待定系數法進行求解即可；

(2)作直線DE⊥軸于點E，交BC于點G，作CF⊥DE，垂足為F，先求出S△OAC=6，再根據S△BCD=S△AOC，得到S△BCD =，然后求出BC的解析式為，則可得點G的坐標為，由此可得，再根據S△BCD=S△CDG+S△BDG=，可得關于m的方程，解方程即可求得答案；

(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進行平行四邊形的構圖，以BD為邊時，有3種情況，由點D的坐標可得點N點縱坐標為±，然后分點N的縱坐標為和點N的縱坐標為兩種情況分別求解；以BD為對角線時，有1種情況，此時N1點與N2點重合，根據平行四邊形的對邊平行且相等可求得BM1=N1D=4，繼而求得OM1= 8，由此即可求得答案.

(1)拋物線經過點A(-2,0)，B(4,0)，

∴，

解得，

∴拋物線的函數表達式為；

(2)作直線DE⊥軸于點E，交BC于點G，作CF⊥DE，垂足為F，

∵點A的坐標為(-2,0)，∴OA=2，

由，得，∴點C的坐標為(0,6)，∴OC=6，

∴S△OAC=，

∵S△BCD=S△AOC，

∴S△BCD =，

設直線BC的函數表達式為，

由B，C兩點的坐標得，解得，

∴直線BC的函數表達式為，

∴點G的坐標為，

∴，

∵點B的坐標為(4,0)，∴OB=4，

∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，

∴S△BCD =，

∴，

解得(舍)，，

∴的值為3；

(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進行平行四邊形的構圖，

以BD為邊時，有3種情況，

∵D點坐標為，∴點N點縱坐標為±，

當點N的縱坐標為時，如點N2，

此時，解得：(舍)，

∴，∴；

當點N的縱坐標為時，如點N3，N4，

此時，解得：

∴，，

∴，；

以BD為對角線時，有1種情況，此時N1點與N2點重合，

∵，D(3，)，

∴N1D=4，

∴BM1=N1D=4，

∴OM1=OB+BM1=8，

∴M1(8，0)，

綜上，點M的坐標為：.