Question

【題目】如圖，直線與x軸相交于點A，與直線相交于點P．

(1)求點P的坐標．

(2)請判斷△OPA的形狀并說明理由．

(3)動點E從原點O出發，以每秒1個單位的速度沿著O→P→A的路線向點A勻速運動(E不與點O、A重合)，過點E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B．設運動t秒時，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△POA是等邊三角形，理由見解析；（3）當0＜t≤4時，，當4＜t＜8時，

【解析】

（1）將兩直線的解析式聯立組成方程組，解得x、y的值即為兩直線的交點坐標的橫縱坐標；

（2）求得直線AP與x軸的交點坐標（4，0），利用OP=4PA=4得到OA=OP=PA從而判定△POA是等邊三角形；

（3）分別求得OF和EF的值，利用三角形的面積計算方法表示出三角形的面積即可．

解：（1）解方程組，

解得：．

∴點P的坐標為：；

（2）當y=0時，x=4，

∴點A的坐標為（4，0）．

∵，

∴OA=OP=PA，

∴△POA是等邊三角形；

（3）①當0＜t≤4時，如圖，在Rt△EOF中，

∵∠EOF=60°，OE=t，

∴EF=，OF=，

∴．

當4＜t＜8時，如圖，設EB與OP相交于點C，

∵CE=PE=t-4，AE=8-t，

∴AF=4-，EF=，

∴OF=OA-AF=4-（4-）=，

∴

=；

綜合上述，可得：當0＜t≤4時，；當4＜t＜8時，.