Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一點，且DB=DC，過BC上一點P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=4

6

，則PE+PF的長是（　　）

• A、4

  6

• B、6
• C、4

  2

• D、2

  6

Answer 1

分析：作PM⊥AC于點M可得矩形AEPM，易證△PFC≌△CMP，得到PE+PF=AC，在直角△ABC中，根據勾股定理就可以求得．

解答：解：（1）作PM⊥AC于點M，可得矩形AEPM
∴PE=AM，利用DB=DC得到∠B=∠DCB
∵PM∥AB．
∴∠B=∠MPC
∴∠DCB=∠MPC
又∵PC=PC．∠PFC=∠PMC=90°
∴△PFC≌△CMP
∴PF=CM
∴PE+PF=AC
∵AD：DB=1：3
∴可設AD=x，DB=3x，那么CD=3x，AC=2

2

x，BC=2

6

x
∵BC=4

6

∴x=2
∴PE+PF=AC=2

2

×2=4

2

．

（2）連接PD，PD把△BCD分成兩個三角形△PBD，△PCD，
S_△PBD=

1

2

BD•PE，
S_△PCD=

1

2

DC•PF，
S_△BCD=

1

2

BD•AC，
所以PE+PF=AC=2

2

×2=4

2

．
故選C．

點評：解決本題的關鍵是作出輔助線，把所求的線段轉移到一條線段求解．