Question

如圖，拋物線與軸的交點為A、B，與 軸的交點為C，頂點為,將拋物線繞點B旋轉，得到新的拋物線,它的頂點為D.

（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線與軸的另一個交點為E，點P是線段ED上一個動點（P不與E、D重合），過點P作y軸的垂線，垂足為F，連接EF.如果P點的坐標為，△PEF的面積為S，求S與的函數關系式，寫出自變量的取值范圍；
（3）設拋物線的對稱軸與軸的交點為G，以G為圓心，A、B兩點間的距離為直徑作⊙G，試判斷直線CM與⊙G的位置關系，并說明理由.

Answer 1

（1）拋物線n的解析式為 （2）S= （3）直線CM與⊙G相切；證明所以直線CM與⊙G相切

試題分析：（1）∵拋物線m的頂點為，∴m的解析式為：
解方程：得：x₁=" -2" ,x₂=8 ∴       
∵拋物線n是由拋物線m繞點B旋轉得到，∴D的坐標為 
∴拋物線n的解析式為：，即 
（2）∵點E與點A關于點B中心對稱，∴E, 設直線ED的解析式為，
則，解得 ∴直線ED的解析式為 
又點P的坐標為，∴S==–xy=
即S= 
（3）直線CM與⊙G相切  
理由如下：∵拋物線m的解析式為y=，令得.∴
∵拋物線m的對稱軸與軸的交點為G，∴OC=4，OG=3，∴由勾股定理得CG=5
又∵AB=10，∴⊙G的半徑為5，∴點C在⊙G上 

過M點作y軸的垂線，垂足為N，則
又，
∴ ∴根據勾股定理逆定理，得∠GCM=90⁰
∴ ∴直線CM與⊙G相切 
點評：本題考查拋物線，勾股定理，直線與圓相切，要求考生掌握用待定系數法求函數的解析式，會判定直線與圓相切，熟悉勾股定理的內容