Question

【題目】如圖，分別以的邊向外作正方形ABFG和ACDE，連接EG，若O為EG的中點，

求證：（1）；

（2）．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）如圖，延長AO到M，使OM=AO，連接GM，延長OA交BC于點H．根據全等三角形的性質得到AE=MG，∠MGO=∠AEO，根據三角形的內角和得到∠MGA+∠GAE=180°，根據正方形的性質得到AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠CAE=90°，根據全等三角形的性質得到AM=BC，等量代換即可得到結論；

（2）根據全等三角形的性質得到∠M=∠EAO，∠M=∠ACB，等量代換得到∠EAO=∠ACB，求得∠AHC=90°，根據垂直的定義即可得到結論．

解：（1）如圖，延長AO到M，使OM=AO，連接GM，延長OA交BC于點H．

∵O為EG的中點，

∴OG=OE，

在△AOE與△MOG中，，

∴△AOE≌△MOG（SAS），

∴AE=MG，∠MGO=∠AEO，

∴∠MGA+∠GAE=180°，

∵四邊形ABFG和四邊形ACDE是正方形，

∴AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠CAE=90°，

∴AC=GM，∠GAE+∠BAC=180°，

∴∠BAC=∠AGM，

在△AGM與△ABC中，，

∴△AGM≌△ABC（SAS），

∴AM=BC，

∵AM=2AO，

∴；

（2）由（1）知，△AOE≌△MOG，△AGM≌△ABC，

∴∠M=∠EAO，∠M=∠ACB，

∴∠EAO=∠ACB，

∵∠CAE=90°，

∴∠OAE=∠CAH=90°，

∴∠ACB+∠CAH=90°，

∴∠AHC=90°，

∴AH⊥BC．

即.