Question

【題目】小明學(xué)習(xí)完《相似三角形》一章后，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的結(jié)論：在兩個(gè)不相似的直角三角形中，分別存在經(jīng)過(guò)直角頂點(diǎn)的一條直線(xiàn)，把直角三角形分成兩個(gè)小三角形后，如果第一個(gè)直角三角形分割出來(lái)的一個(gè)小三角形與第二個(gè)直角三角形分割出來(lái)的一個(gè)小三角形相似，那么分割出來(lái)的另外兩個(gè)小三角形也相似．他把這樣的兩條直線(xiàn)稱(chēng)為這兩個(gè)直角三角形的相似分割線(xiàn)．如圖1、圖2，直線(xiàn)CG、DH分別是兩個(gè)不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割線(xiàn)，CG、DH分別與斜邊AB、EF交于點(diǎn)G、H，如果△BCG與△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝_____．

Answer 1

【答案】3

【解析】

先由勾股定理得出BC的值，再由△BCG∽△DFH列出比例式，設(shè)AG＝x，用含x的式子表示出DH；按照相似分割線(xiàn)可知，△AGC∽△DHE，但要先得出兩個(gè)相似三角形的邊或角是如何對(duì)應(yīng)的，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，解得x值即可．

解：∵Rt△ABC，AC＝3，AB＝5，

∴由勾股定理得：BC＝4，

∵△BCG∽△DFH，

∴＝，

已知DF＝8，設(shè)AG＝x，則BG＝5﹣x，

∴＝，

∴DH＝10﹣2x，

∵△BCG∽△DFH，

∴∠B＝∠FDH，∠BGC＝∠CHF，

∴∠AGC＝∠DHE，

∵∠A+∠B＝90°，∠EDH+∠FDH＝90°，

∴∠A＝∠EDH，

∴△AGC∽△DHE，

∴＝，

又DE＝4，

∴＝，

解得：x＝3，

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3是原方程的解，且符合題意．

∴AG＝3．

故答案為：3．