Question

【題目】如圖，已知直角坐標系中，A、B、D三點的坐標分別為A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），點C與點B關于x軸對稱，連接AB、AC．

（1）求過A、B、D三點的拋物線的解析式；

（2）有一動點E從原點O出發，以每秒2個單位的速度向右運動，過點E作x軸的垂線，交拋物線于點P，交線段CA于點M，連接PA、PB，設點E運動的時間為t（0＜t＜4）秒，求四邊形PBCA的面積S與t的函數關系式，并求出四邊形PBCA的最大面積；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在一點H，使得△ABH是直角三角形？若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=﹣8t2+32t+32，當t=2時，S有最大值，且最大值為64；（3）H（，11），（， ）．

【解析】試題分析：（1）由于A（8，0），D（﹣1，0），故設過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣8），將B（0，4）代入即可求得a，進而求得拋物線的解析式為；

（2）四邊形PBCA可看作△ABC、△PBA兩部分；△ABC的面積是定值，關鍵是求出△PBA的面積表達式；若設直線l與直線AB的交點為Q，先用t表示出線段PQ的長，而△PAB的面積可由（PQOA）求得，在求出S、t的函數關系式后，由函數的性質可求得S的最大值；

（3）根據已知條件得到∠HAB＜90°，①當∠ABH=90°時，求得直線AB：y=﹣x+4，直線BH：y=2x+4，于是得到H（，11），②當∠AHB=90°時，過B作BN⊥對稱軸于N，則BN=，AG=，設對稱軸交x軸于G，根據相似三角形的性質得到HN=（負值舍去），于是得到H（， ）．

（1）∵A（8，0），D（﹣1，0），設過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣8），將B（0，4）代入得﹣8a=4，∴a=﹣，∴拋物線的解析式為，即 ；

（2）△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，則OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．由A（8，0）、B（0，4），得：直線AB：y=﹣x+4；依題意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；S=S△ABC+S△PAB=×8×8+×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；∴當t=2時，S有最大值，且最大值為64；

（3）存在，∵拋物線的對稱軸為：x==，∵直線x=垂直x軸，∴∠HAB＜90°，①當∠ABH=90°時，由A（8，0）、B（0，4），得：直線AB：y=﹣x+4，所以，直線BH可設為：y=2x+h，代入B（0，4），得：h=4，∴直線BH：y=2x+4，當x=時，y=11，∴H（，11），②當∠AHB=90°時，過B作BN⊥對稱軸于N，則BN=，AG=，設對稱軸交x軸于G，∵∠AHG=∠HBN=90°﹣∠BHN，∠BNH=∠AGH=90°，∴△AHG∽△BHN，∴，∴，∴HN（HN+4）=，∴4（HN）2+16HN﹣63=0，解得：HN=（負值舍去），∴H（， ），綜上所述，H（，11），（， ）．